Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Операторы физических величин. Собственные состояния

Операторы. Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например , и его действие на некоторую функцию f(x) записывают как f(x).

Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q находится по формуле

(12.45)

где -оператор физической величины Q. Операторами величин x и px являются

 

(12.46)

Аналогично для операторов     Исследование влияния пространственного заряда на прохождение тока в диоде

Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:

формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Оператор полной энергии частицы — гамильтониан  имеет вид:

(12.47)

где  и - операторы кинетической потенциальной энергии,   - это лапласиан.

Найдем с помощью оператора полной энергии (12.47) связь между средними значениями полной <E>, кинетической <K> и потенциальной <U> энергий:

(12.48)

Отсюда, используя определение среднего значения (12.45) получаем

<E> = <K> + <U>.

(12.49)

Полученное равенство не эквивалентно Е = К + U классической механики. Действительно, в силу соотношения неопределенностей величины К и U не могут одновременно иметь определенные значения, поскольку К зависит от импульса р, a U — от координаты х. Формула (12.49) показывает, однако, что в квантовой механике классическая связь сохраняется между средними значениями Е, К и U.

Собственные состояния. Одним из основных постулатов квантовой теории является утверждение, что состояние, в котором физическая величина Q имеет определенное значение, описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

Ψ = QΨ,

(12.50)

где— оператор физической величины Q.

Физический смысл могут иметь лишь такие решения (12.50), которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия, как уже говорилось, называют естественными или стандартными.

Функции, являющиеся решением уравнения (12.50) и удовлетворяющие естественным условиям, называют собственными функциями оператора. Те значения Q, при которых такие решения существуют, называют собственными значениями физической величины Q. Такие состояния и называют собственными.

Квантование момента импульса

Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Однако в квантовой теории мо­мент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, Мг. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.

Это означает, что направление момента М в пространстве является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор М как-то «размазан» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной оси Z (рис. 12.12). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция Мг. Другие две проекции, Мх и Му, оказываются полностью неопределенными.

Рис. 12.12.

Модуль момента импульса. Для определения квадрата момента необходимо решить уравнение

(12.51)

Оператор достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора:

М2 = l( l + 1)ћ2, l = 0, 1, 2, …,

(12.52)

где l — орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента

 l = 0, 1, 2, …,(n-1).

(12.53)

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).

Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему оператором имеется существенное различие. Классический момент [r р] зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки О (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах). Оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его называют оператором углового момента. Собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, и  также не зависят от выбора точки О.

Проекция момента М z. Рассмотрим решение уравнения

(12.54)

 В сферических координатах (r, θ, φ) оператор проекции момента импульса на полярную ось z (от которой отсчитывается полярный угол θ) имеет вид

(12.54)

Для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (12.50) и (12.54), решить уравнение

(12.55)

где φ – азимутальный угол в полярной системе координат.

Подстановка ψ = C exp (αφ) приводит после сокращения на общий множитель ехр (αφ) к алгебраическому уравнению, 

из которого α = iМ z /ћ. Значит, решение уравнения (12.55) таково:

(12.56)

Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, для чего должно быть выполнено условие ψ (φ + 2π) = ψ (φ) или

Это условие будет выполнено, если положить M z = mћ, где т —целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор  обладает дискретным спектром:

Mz = m ħ, m = 0, ± 1, ± 2, …

(12.57)

Поскольку ось Z выбирают произвольно, равенство (12.57) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 12.13.

Число т называют магнитным квантовым числом. С точки зрения квантовой теории волновая функция ψl, соответствующая определенному квантовому числу l, представляет собой суперпозицию состояний (ψlm -функций), отличающихся друг от друга квантовым числом т. Иначе говоря, состояние с заданным l является вырожденным по т, причем кратность вырождения, т. е. число различных значений т, как следует из (12.57), равно 2l + 1. Как будет показано в дальнейшем, вырождение снимается при помещении атома в магнитное поле.

Рис. 12.13.

Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. |Mz| ≤ М, поэтому в соответствии с (12.53) и (12.57) должно выполняться условие

Отсюда следует, что максимальное значение |т| равно l.

Видно, что при заданном l число т принимает 2l + 1 значений:

образующих спектр величины Мz. В квантовой теории при указании орбитального момента принято называть только l, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все возможные значения его проекций на ось Z. Так например, когда говорят, что орбитальный момент l= 2, то имеется в виду модуль М момента и спектр Мz:

Напишем вместе полученные результаты:

(12.58)

(12.59)

Полученные результаты, определяющие возможные значения М и Мz, называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (см. рис. 12.13).

Селективный, внутренний, вентильный фотоэффект.

Селективный фотоэффект.

Квантовый выход электрона из металла — γ

γ=jфн/Ф = [мА/лм]

обычный фотоэффект

селективный фотоэффект

электромагнитная волна:

E=E0Cos(ωt-kr)

H=H0Cos(ωt-kr)

На электрон действует F=eE, электрон начинает совершать вынужденные колебания, становится возможным появление резонанса. Λ0 — резонансная длина волны. Максимальная амплитуда, максимальный квантовый выход.

Величина пика (максимума) зависит от вида поляризации падающего излучения и от угла падения.

2 — вероятность выхода больше

чем больше угол, тем больше пик.

Селективный фотоэффект чаще на щелочных металлах. Важен тем что подчеркивает дуализм света. Один и тот же эффект объясняется с привлечением обеих теорий.


Характеристические рентгеновские спектры