Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Постановка задачи вторичного квантования

 Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц.

 Пусть  - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему   невзаимодействующих частиц, из которых   частиц описываются волновой функцией ,  - волновой функцией  и т.д. с полным числом частиц . Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором роль независимых переменных играют не координаты и проекции спина на выделенное направление для каждой частицы, а величины   (называемые числами заполнения состояния   , или населенностями состояния ). Волновую функцию системы  частиц можно было бы записать так:

,

где  радиус-вектор и проекция спина на некоторое направление (например, на ось ) частицы . Мы будем использовать обозначения Дирака:   - волновая функция, описывающая систему  частиц.

Контур с током в неоднородном магнитном поле Рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле. Пусть (для простоты) контур имеет форму окружности. Предположим также, что магнитная индукция увеличивается в положительном направлении оси х, совпадающем с направлением вектора магнитной индукции . Сила Ампера , действующая на элемент контура , перпендикулярна к вектору. Так что силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический «веер»

 Пусть мы имеем систему бозонов. Тогда волновая функция симметрична относительно перестановки координат любой пары частиц. Пусть  - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Если имеется система из двух частиц в состояниях  и  (), то

.

В общем случае системы  частиц

  , (6)

где сумма берётся по всем перестановкам различных из индексов ; числа  указывают, сколько из индексов имеют одинаковое значение . При интегрировании  по  в нуль обращаются все члены, за исключением квадратов модулей каждого слагаемого суммы.

 В случае фермионов волновая функция всей системы антисимметрична относительно перестановки координат любой пары частиц и поэтому может быть записана в виде определителя

 (7)

 Соответственно выбору независимых переменных в виде чисел заполнения операторы физических величин также должны действовать на функции чисел заполнения.

Вторичное квантование: случай бозонов

  Вначале рассмотрим бозоны. Пусть  - оператор какой-либо величины, относящейся к частице , т.е. действующий на переменные . Определим симметричный по всем частицам оператор:

 (8)

(здесь суммирование идет по всем частицам). Наша задача – построить матричные элементы оператора между состояниями, описываемыми волновыми функциями (6).

  Так как каждый из операторов  действует только на одну функцию в произведении , то его матричные элементы отличны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы. Если рассматривается, например, переход частицы из состояния  в состояние  (), причем до перехода населенности состояний были   и , соответственно, то после перехода населенности примут значения  и , т.е. имеет место переход ,  , . Как видим, в результате перехода число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом, соответственно, увеличивается на единицу. Соответствующий матричный элемент имеет вид (при ):

  (9)

Диагональные матричные элементы дают средние значения величины :

  .

 Введём операторы , действующие не на функции координат, а на функции чисел заполнения:  уменьшает на 1 значение переменной :

.  (10)

Т.е. оператор  уменьшает число частиц, находящихся в ом состоянии, на единицу. Это оператор уничтожения частицы в состоянии . Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть

.  (11)

Сопряжённый с  оператор  изображается матрицей с единственным ненулевым элементом:

  .

Это значит, что оператор  - это оператор рождения частицы в состоянии :

.  (12)

Произведение операторов  при воздействии на волновую функцию может лишь умножить её на постоянную. Поэтому  изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными :

.

Аналогично:

  =.

Значит,

.  (13)

Операторы же с разными индексами  и , действующие на разные переменные ( и ), коммутативны:

  (14)

Нетрудно убедиться в том, что матричные элементы оператора

  (15)

совпадают с матричными элементами оператора (8). Это значит, что оператор (15) совпадает с оператором (8). Таким образом, обычный оператор, действующий на функции координат, удалось выразить в виде оператора, действующего на функции чисел заполнения.

 Оператор Гамильтона системы невзаимодействующих частиц

в представлении вторичного квантования запишется следующим образом:

.

Если в качестве функций  выбрать собственные функции оператора Гамильтона   отдельной частицы, то матрица   будет диагональна, а её диагональные матричные элементы будут собственными значениями энергии . Значит,

 .

Заменяя собственными значениями , получим для уровней энергии системы выражение

.

  Аппарат вторичного квантования можно представить в более компактной форме, введя операторы поля. С этой целью рассмотрим произвольное одночастичное состояние, волновую функцию которого  разложим в ряд по полной системе функций : . (16)

В этом разложении  - числовые коэффициенты, вид которых зависит от функции . Теперь в (16) выполним замену , где  - оператор уничтожения частицы в состоянии . В результате волновая функция  превращается в оператор поля частиц (выписываем также и эрмитово сопряженный оператор поля):

.  (17)

Предполагается при этом, что операторы рождения и уничтожения частиц  и подчиняются перестановочным соотношениям (13) и (14). Правила коммутации полевых операторов определяются равенствами:

  (18)

 Отметим, что замена коэффициентов  в формуле (16) операторами уничтожения частиц  называется вторичным квантованием. При этом имеется в виду, что описание поведения частицы с помощью волновой функции (16) уже является квантовым (это как бы первичное квантование). Вводя волновую функцию , мы вводим тем самым квантовое поле, связанное с частицей. Замена  приводит к тому, что теперь мы получаем право говорить о частицах как о квантах, соответствующих данному полю. Тем самым метод вторичного квантования позволяет более четко выявить корпускулярную природу поля.

  Вторично квантованный оператор  запишется так:

 .

Оператор Гамильтона, выраженный через - операторы, имеет вид:

  (19)

Оператор числа частиц дается формулой

 

 Операторы вторичного квантования действуют на векторы состояния . Обозначим через  вектор вакуумного состояния, т.е. состояния поля без частиц. По определению, вектор состояния   удовлетворяет условию:

  при любых значениях квантовых чисел . (20)

Вектор состояния  описывает одночастичное состояние – состояние поля, в котором имеется один бозон с квантовыми числами . Отметим равенство  и условие нормировки вектора вакуумного состояния . Многочастичные состояния могут быть получены, если на вектор состояния  подействовать оператором рождения частиц нужное число раз. Например, вектор состояния  описывает состояние поля с  бозонами в состоянии  и  бозонами в состоянии .

Вторичное квантование: случай фермионов

 В случае фермионов принципиальная сторона дела остаётся без изменения. Конкретные же формулы изменятся. Теперь волновые функции антисимметричны. При этом числа заполнения могут быть только 0 или 1.

 Операторы  должны определяться как матрицы с элементами:

  .

Операторы рождения и уничтожения подчиняются перестановочным соотношениям:

Все остальные формулы остаются в силе. Правила коммутации для - операторов теперь имеют вид:

  Отметим дираковские обозначения. Вектор состояния вакуума обозначается через  и называется вакуумным кет-вектором. Вводится вакуумный бра-вектор:  . Эти векторы состояния подчиняются соотношениям:

   при произвольных квантовых числах . Кет-вектор  описывает одночастичное состояние. При этом, в соответствии с принципом Паули,  при  .

 

Контрольные вопросы

Как изменяется оператор Гамильтона системы одинаковых частиц при перестановке координат пары частиц?

Чем отличаются симметричные состояния системы одинаковых частиц от антисимметричных?

Возможны ли квантовые переходы между симметричными и антисимметричными состояниями?

В чем состоит различие между волновыми функциями бозонов и фермионов?

Какова связь между типом симметрии волновой функции и спином частицы?

В чем состоит принцип Паули? Откуда он следует?

Выполняется ли принцип Паули для бозонов? Почему?

Какова основная идея (постановка задачи) вторичного квантования?

Что такое операторы рождения и уничтожения частиц?

Чем отличаются операторы рождения и уничтожения фермионов от аналогичных операторов, относящихся к бозонам?

Что такое полевой оператор и каким образом он конструируется?

Каковы перестановочные соотношения для операторов поля?

Объяснить содержание слова «вторичное» в названии «вторичное квантование». В чем состоит «первичное» квантование? Каковы преимущества метода вторичного квантования?

Что такое вакуумное состояние поля? Как из вакуумного состояния получить многочастичное?

Как определяются вакуумные кет-вектор и бра-вектор? Какова связь между ними?

Закон сохранения энергии Епот +Екин +Евращ=const

Работа при повороте на угол dj dА = Mdj

Основные законы и и формулы молекулярной физики и термодинамики

Количество вещества  n = N/NA = m/m

Уравнение Клапейрона - Менделеева РV = mRT/m

(уравнение состояния идеального газа)

Закон Дальтона Р = P1 + P2 +....+ Pn

Концентрация молекул n = N/V = NAr/m

Закон Фурье q =-l (dT/dх)

Первое начало термодинамики dQ = dU + dA

Основные законы и и формулы электростатики и постоянного тока

Закон Кулона F = q1 q2 / 4pee0 r2

Напряженность электрического поля Е = F/q1

Напряженность поля точечного заряда q2 Е = q2 / 4pee0 r2

Теорема Остроградского – Гаусса ò ЕndS = ( åqi )/ ee0

Cвязь между потенциалом j Е = -grad j

и напряженностью поля

Сила тока I = dq/dt

Заряд, прошедший по проводнику q = ò I(t) dt

Закон Ома для замкнутой цепи I = e/ (R + r)


Характеристические рентгеновские спектры