Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора www.ustmaya.ru - это рулетка вулкан, яркие эмоции и классный досуг!

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Системы одинаковых квантовых частиц.

 Вторичное квантование

Содержание

Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны.

Тип симметрии волновых функций и спин частицы. Принцип Паули.

Постановка задачи вторичного квантования.

Вторичное квантование: случай бозонов.

Вторичное квантование: случай фермионов.

1. Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны Магнитное поле соленоида Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно (виток к витку) на цилиндрический каркас.

 Рассмотрим систему одинаковых частиц, т.е. частиц одного сорта, у которых одинаковы массы, заряды, спины и, возможно, некоторые другие физические характеристики (но энергии, импульсы и другие величины могут быть разными).

  Как уже отмечалось в лекции 4 (см. раздел 3), между системами классических и квантовых частиц имеется существенное различие.

 В классической механике одинаковые частицы не теряют своей индивидуальности. Действительно, можно представить себе, что классические частицы, входящие в некоторую систему, каким-нибудь способом помечены в начальный момент времени, и в дальнейшем можно наблюдать за ними, прослеживая их траекторию движения.

 Но в квантовой механике, в силу соотношений неопределенности, понятие траектории движения частицы теряет смысл. Если положение частицы точно известно в некоторый момент времени, то уже в бесконечно близкий момент его координаты не имеют определенного значения. Поэтому, пометив частицы в некоторый момент, мы не сможем различить их уже в следующий момент времени. Таким образом, в квантовой механике невозможно в принципе следить за движением отдельных частиц. Иными словами, одинаковые квантовые частицы полностью теряют свою индивидуальность (т.е. являются принципиально неразличимыми).

 Особенности систем одинаковых квантовых частиц мы рассмотрим подробнее на примере системы из  одинаковых частиц, взаимодействующих с некоторым внешним полем и между собой. Пусть  - потенциальная энергия -ой частицы во внешнем поле,  - потенциальная энергия взаимодействия -ой и -ой частиц. Полный оператор Гамильтона системы имеет вид:

.  (1)

Предположение об одинаковости частиц выражается в том, что массы частиц одинаковы, а также одинакова функциональная зависимость потенциальной энергии  частицы во внешнем поле и энергии взаимодействия  любой пары частиц от координат.

 В операторе Гамильтона (1) переставим местами координаты -ой и -ой частицы. От этого оператор Гамильтона не изменится, так как это приведёт лишь к перестановке слагаемых в суммах, входящих в (1). Значит,

 (2)

для любой пары частиц . Если бы среди  частиц была хотя бы одна, отличная от других, то равенство (2) не имело бы места как раз для перестановки этой частицы с любой другой. Это свойство можно так сформулировать: оператор Гамильтона системы инвариантен относительно перестановки координат любой пары частиц.

 Введём оператор перестановки , означающий перестановку координат частиц  и   и действующий на произвольную функцию   согласно правилу:

.

Очевидно, что равенство (2) можно переписать так:

для любой пары частиц . Значит, оператор  коммутирует с оператором Гамильтона системы одинаковых частиц.

 Легко доказать, что если  - волновая функция системы, т.е. описывает состояние с оператором Гамильтона , то функция  также является одним из возможных состояний системы, так как она подчиняется временному уравнению Шредингера с тем же оператором Гамильтона. Продолжая перестановку других пар частиц, мы получим новые волновые функции системы. Но в силу принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц, все эти волновые функции описывают одно и то же состояние. Значит, эти волновые функции могут отличаться только фазовым множителем.

 Из принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц вытекает важное следствие, касающееся симметрии волновой функции систем такого рода частиц. Это следствие легко вывести на примере системы из двух одинаковых частиц. Ее волновую функцию запишем в виде:

 , (3)

где  - радиус-вектор и -компонента спина частицы . В силу принципа тождественности одинаковых квантовых частиц, если переставить местами эти частицы, то мы получим состояние, полностью эквивалентное исходному. Иными словами, волновые функции  и  могут отличаться лишь на несущественный фазовый множитель:

  .

Если выполнить повторную перестановку частиц, то получим равенство:

 

из которого следует, что . Значит, . Итак, в силу принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц

  (4)

т.е. волновая функция может быть либо симметричной (если в (4) стоит знак «+»), либо антисимметричной (если в (4) стоит знак «-»). Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц: перестановка местами координат любой пары частиц либо оставляет волновую функцию неизменной, либо изменяет ее знак.

 Имеются, таким образом, два класса квантовых состояний – состояния, описываемые симметричными (1) и антисимметричными (2) волновыми функциями.

 Существенно, что состояния системы одинаковых частиц, принадлежащие к разным типам симметрии, не могут смешиваться между собой. Это следует из одинаковости частиц: если какая-либо пара частиц описывается симметричными волновыми функциями, то и любая другая пара частиц данного сорта также должна описываться симметричными функциями.

 Подчеркнем также, что тип симметрии волновой функции не изменяется со временем. Справедливость последнего утверждения следует из инвариантности оператора Гамильтона  системы частиц относительно перестановки координат любой пары частиц и временного уравнения Шредингера. Действительно, если в момент времени  волновая функция   системы частиц симметрична относительно перестановки координат частиц, то функция , в силу симметрии , также симметрична и, следовательно, в силу уравнения Шредингера, волновая функция системы частиц в следующий момент времени  также будет симметричной. Это утверждение справедливо, очевидно, и для антисимметричных состояний. Отсутствуют, таким образом, квантовые переходы между симметричными и антисимметричными состояниями системы одинаковых частиц.

 В зависимости от типа симметрии волновой функции частицы делятся на фермионы и бозоны. Фермионы описываются антисимметричными, а бозоны – симметричными волновыми функциями.

Тип симметрии волновых функций и спин частицы. Принцип Паули

 Тип симметрии волновой функции оказывается зависящим от спина частиц. Эта зависимость является фундаментальным законом квантовой механики, который состоит в том, что системы одинаковых частиц с целыми спинами описываются симметричными волновыми функциями, а системы одинаковых частиц с полуцелыми спинами – антисимметричными.

  Спин является, таким образом, важнейшей физической характеристикой микрочастицы. В частности, от спинов зависят статистические свойства многочастичных квантовых систем. Эти свойства были впервые исследованы Бозе и Эйнштейном (1924 г.) для систем с целочисленным спином и Ферми и Дираком (1926 г.) для систем, образованных частицами с полуцелым спином.

 Из антисимметрии волновой функции фермионов следует принцип запрета Паули: в одном и том же квантовом состоянии не могут находиться два или более одинаковых фермиона.

 Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим два одинаковых невзаимодействующих электрона. Так как частицы не взаимодействуют друг с другом, то каждая из них описывается своей волновой функцией, подчиняющейся уравнению Шредингера. Пусть один из электронов описывается волновой функцией , а второй – функцией  ( и  - квантовые числа электронов). Волновая функция полной системы должна быть антисимметричной относительно замены ; такая функция имеет вид:

  . (5)

Если , то состояния электронов одинаковы, но в этом случае . Значит, состояние с   не существует, т.е. невзаимодействующие электроны не могут находиться в одинаковых состояниях.

 Отметим, что если в последней формуле заменить знак «-» на «+», то волновая функция будет симметричной и, значит, будет описывать не фермионы, а бозоны. В этом случае при  волновая функция . Значит, бозоны не подчиняются принципу Паули. Более того, в одном квантовом состоянии может находиться сколько угодно бозонов.

Закон Джоуля-Ленца для пост. тока Q = I2R t

То же для тока, зависящего от времени Q = ò I2(t)Rdt

Сопротивление однородного проводника R = r l /S

Полная мощность, выделяющаяся в цепи P = I e = e2/ (R + r )

Основные законы и формулы электромагнетизма

Закон Ампера dF = BIdLsina

Механический момент, действующий M = pmB sina

на контур с током помещенный в магнитное поле

Магнитный момент контура с током pm = IS

Cвязь магнитной индукции с напряженностью В = mm

магнитного поля

Магнитная индукция в центре кругового тока В = mm0I/2R

Магнитная индукция поля:

созданного бесконечно длинным B = mm0I/2pR

проводникомс током на расстoянии R

созданного отрезком проводника с током B = mm0I(cоsa1 -cosa)/4pd

на расстоянии d

беконечно длинного соленоида и тороида В =mm0 n I

имеющих плотность витков n

Cила Лоренца F = q E + q [v B]

Закон электромагнитной индукции Фарадея Е =- N dФ/dt

Потокосцепление Y = NФ

Потокосцепление соленоида Y = LI


Характеристические рентгеновские спектры