Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Точная теория рассеяния. Фазы рассеянных волн и эффективное сечение

  Вернёмся к точному уравнению (3). Решение этого уравнения, отвечающее энергии , квадрату момента  и проекции момента , выражается через шаровую функцию:

.  (17)

Напомним, что

где  - оператор Лапласа для сферы.

 Подстановка  в радиальную часть уравнения (3) приводит к следующему уравнению:

.

Кинематические характеристики вращательного движения. Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Решение, отвечающее энергии , можно записать в виде разложения по ортогональным функциям :

  (18)

Нам нужно найти такое решение, которое асимптотически имеет вид суперпозиции плоской и рассеянной волн:

  при . (19)

Это решение обладает симметрией вращения вокруг оси  и поэтому не зависит от угла . От  зависят те слагаемые в (18), которые содержат . Поэтому, если отбросить все такие слагаемые, то получим частное решение, не зависящее от . Так как с точностью до числового множителя

  ( - полином Лежандра),

то искомое решение запишется в виде:

. (20)

Наша задача - найти коэффициенты  в разложении (20).

 Асимптотику функции  запишем так:

  . (21)

Теперь нужно так подобрать постоянные , чтобы выражение (20) переходило в (19) при . Учтем разложение плоской волны:

, (22)

где  - функция Бесселя. Отметим, что правая часть (22) является суперпозицией стоячих сферических волн. Каждое слагаемое в (22) является решением уравнения (3) при . Выпишем асимптотику функции  при :

.  (23)

Амплитуду рассеяния  удобно представить в виде

.  (24)

Тогда, используя (22)-(24), выражение (19) можно записать в форме:

  .

Сравнивая почленно последнее выражение с (20), найдём:

Отсюда:

.

Учитывая (24), получаем:

. (25)

Искомое эффективное сечение:

Полное сечение:

. (26)

Здесь учтено, что

 ,

  при .

Итак, как дифференциальное, так и полное сечения определяются фазами рассеянных волн  (см. формулу (21)). Для их определения нужно найти решение уравнения Шредингера, подчиняющееся асимптотике (21). Отдельные слагаемые в (26) называются парциальными сечениями. При  говорят об -рассеянии, при  - о -рассеянии и т.д. Выделим в (17) отдельное слагаемое с . Используя приведенные выше формулы, получаем:

 (27)

Величина  даёт отношение амплитуды расходящихся волн к амплитуде сходящихся волн. Совокупность этих величин называется матрицей рассеяния. В общем случае матрица рассеяния преобразует волны, приходящее из , в волны, уходящие на . Гейзенберг предлагал всю квантовую теорию построить, опираясь на матрицу рассеяния, а не на волновую функцию.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

Основополагающие законы и формулы для решения задач.

Основные законы и формулы механики

Скорость мгновенная  v = dх/dt

Угловая скорость мгновенная w = dj/dt

Ускорение:

мгновенное а = dv/dt = d2х/dt2

тангенциальное аt = d½v½/dt

нормальное аn = v2/r

полное a = Ö аt 2 + аt2

Угловое ускорение мгновенное e = dw/dt = d2j/dt2

Cвязь между линейными и угловыми s = jr ; v = wr ;

величинами, характеризующими аt = e r ; аn = w2 r .

движение точки по окружности.

Второй закон Ньютона d P/dt = å Fi

для поступательного движения  i

Второй закон Ньютона для поступательного m a = å Fi

движения тела с m =const i

Количество движения материальной точки P = mv

массы m, движущейся со скоростью v

Потенциальная энергия:

упругодеформированного тела (работа Епот = А = k х2/2 ;

упругой силы)

гравитационного взаимодействия двух тел Епот = -G m1m2/r ;

тела в однородном поле тяготения Епот = mgh .

Кинетическая энергия поступательного Екин = mv2/2 = P2/2m

движения тела


Характеристические рентгеновские спектры