Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Теория столкновений

Содержание

Постановка задачи теории столкновений микрочастиц.

Расчёт упругого рассеяния методом Борна.

Точная теория рассеяния. Фазы рассеянных волн и эффективное сечение.

- оператор и матрица рассеяния.

- матрица рассеяния и условие унитарности.

Кинематические характеристики и уравнения поступательного движения. Кроме модели реального тела в виде материальной точки, в физике часто используется модель абсолютно твердого тела. Тело считается абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой задачи оно не деформируется, т.е. расстояние между любыми двумя произвольными точками сохраняется неизменным.

Постановка задачи теории столкновений микрочастиц

 Пусть на микрочастицу А (например, атом) падает поток частиц В (например, электронов). Электроны рассеиваются на атоме, изменяя направление движения, и часть своей энергии   могут передать атому А. В последнем случае столкновение будет неупругим. Если , то столкновение упругое. В опыте определяют число электронов, проходящих в 1 сек через площадку , расположенную перпендикулярно к лучу, проведённому из центра атома к детектору электронов (поток рассеянных частиц). Пусть  - поток рассеянных частиц, проходящих через   за 1 сек и имеющих энергию  ( - исходная энергия электрона,   - потеря энергии). Очевидно, что

 

где  - элемент телесного угла, под которым площадка   видна из атома,  - плотность потока падающих частиц (число частиц, проходящих за 1 сек через 1 см2),  - коэффициент пропорциональности. Величина

  (1)

называется дифференциальным эффективным сечением (имеет размерность площади) для рассеяния в угол  с потерей энергии . Согласно (1), величина  является отношением потока рассеянных частиц, приходящегося на элементарный телесный угол, к величине плотности потока падающих частиц. Если величину (1) проинтегрировать по всему телесному углу (), то получим полное сечение рассеяния

 .

Величина  представляет собой полное число частиц, потерявших энергию  за 1 сек при столкновении с атомом.

 Задача теории рассеяния заключается в вычислении дифференциального эффективного сечения .

2. Расчёт упругого рассеяния методом Борна

  Ограничимся рассмотрением упругого рассеяния. В этом случае атом (рассеиватель) можно рассматривать как силовой центр. Будем считать, что силовое поле атома центрально–симметричное. Обозначим через  потенциальную энергию электрона в поле атома, а через  и  энергию и волновую функцию падающей частицы. Движение частицы описывается уравнением Шредингера

.  (2)

Вводя обозначения

,

запишем уравнение (2) в виде:

.  (3)

 Нам нужно найти такие решения уравнения (3), которые отвечают поставленной задаче теории рассеяния: на больших расстояниях от атома волновая функция  должна быть суперпозицией плоской волны, представляющей поток падающих частиц, и расходящейся волны, представляющей рассеянные частицы:

.  (4)

Здесь  - волновая функция падающих частиц, функция   описывает рассеянные частицы. Пусть падающие частицы движутся вдоль оси :

 ,

- объем основной области. Функция  на больших расстояниях от атома должна иметь вид расходящейся волны:

, (5)

  - амплитуда рассеянной волны, - угол рассеяния.

 Вычисляем плотность потока частиц по формуле

 .

Для падающих частиц получаем:

Полагаем , т.е. используется нормировка волновой функции в расчете на одну частицу в единице объёма. Для рассеянных частиц имеем аналогично (выписываем радиальную компоненту плотности тока в сферических координатах):

.

Поток рассеянных частиц через площадку  составляет:

 .

Отсюда по формуле (1) выводим:

.  (6)

 Подставляя (4) в (3) и пренебрегая членом  как величиной второго порядка малости, имеем:

. (7)

Нужно найти решение  уравнения (7), имеющее асимптотику (5). Искомое решение

нетрудно получить, зная известное из электродинамики выражение для потенциала  поля, создаваемого системой зарядов с плотностью . Напомним, что потенциал  подчиняется уравнению Даламбера

,  (8)

решение которого дается формулой

,  (9)

где  - расстояние от точки , где находится заряд, до точки наблюдения . Пусть   (10) Подстановка (10) в (9) даёт:

   (11)

С другой стороны, подстановка (10) в уравнение (8) даёт:

.  (12)

Это уравнение совпадает с (7), если

.  (13)

Переходя в выражении (11) к новым обозначениям в соответствии с равенствами (13), получаем:

. (14)

Это и есть искомое решение уравнения (7).

 Найдём вид функции  вдали от атома. Обозначим через  и  орты в направлении падающего пучка (т.е. в направлении радиуса-вектора ) и в направлении радиуса-вектора , соответственно. Тогда

.  (15)

Учитывая равенство (15), преобразуем выражение (14) к виду ( пренебрегаем в знаменателе величиной  по сравнению с ):

.

Подставив сюда , выводим:

.

Из сравнения последнего выражения с асимптотикой (5) найдём:

,  (16)

где .

 Значит, амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте Фурье в разложении потенциала по плоским волнам . По формуле (6) находим эффективное дифференциальное сечение: . Это борновское приближение (первое приближение теории возмущений).

 Вопрос о точности борновского приближения мы не будем рассматривать детально. Отметим лишь, что интенсивность рассеянной волны  вблизи рассеивающего центра должна быть малой по сравнению с интенсивностью падающей волны . Оценим величину, положив в (14) для простоты   (т.е. возьмём значение указанных функций в центре атома). Считая, что силы центральные (), выполняем в (14) интегрирование по углам:

Это выражение стремится к нулю при , поэтому метод Борна пригоден при достаточно большой энергии частицы.

48. Сила тока в резисторе с сопротивлением 10 Ом равномерно возрастает от нулевого значения в течение 10 с. Определить скорость возрастания тока, если количество теплоты, выделившееся за это время в резисторе, равно 600 Дж.

49. Определить количество теплоты, выделяемое медной шиной длиной 2м и площадью сечения 10 см2 за 10с, если по ней течет ток силой 100 А.

50. Определить разность потенциалов на концах нихромового проводника длиной 1м, если плотность тока, текущего по нему, равна 2×108 А/м2. Удельное сопротивление нихрома 11.0× 10-7 Ом/м.

51.Известно, что санитарная норма в России воздействия электромагнитного излучения в ближней зоне радиолокационных и телевизионных станций составляет не более 10 мкВт/см2. Определить верхнюю границу напряженности электрического поля в электромагнитной волне.

52. Считая, что на внешнее излучение уходит 10 процентов мощности СВЧ-печи, определить безопасное расстояние, если при работе печи не более 20 минут предельная допустимая плотность энергии равна 1 мВт/см2. СВЧ – печь считать за точечный источник мощностью 1 кВт.

53. Предельно допустимый уровень напряженности электрического поля создаваемого ТV станциями на частоте 300 Мгц составляет 2,5 В/м Определить предельно допустимый уровень плотности потока энергии.

  54. Считая, что на внешнее излучение уходит 5 % мощности СВЧ–печи, определить безопасное расстояние, если при работе печи не более 20 минут предельная допустимая плотность энергии равна 1 мВт/см2. СВЧ – печь считать за точечный источник мощностью 1 кВт.

55. Считая, что на внешнее излучение уходит 10 % мощности СВЧ-печи, определить безопасное расстояние, если при работе печи не более 1 часа предельная допустимая плотность энергии равна 200 мкВт\см2. СВЧ- печь считать за точечный источник мощностью 1 кВт.

56. Считая, что на внешнее излучение уходит 5% мощности СВЧ-печи, определить безопасное расстояние, если предельная допустимая плотность потока энергии равна 200 мкВт\см2 при работе печи не более 1 часа. СВЧ- печь считать за точечный источник мощностью 1 кВт.

57. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 3м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 5% мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

58. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 2 м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 5% мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

59. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 3 м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 10% мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

60. Вычислить плотность потока энергии на расстоянии 2 м от СВЧ-печи мощностью 1 кВт, если на внешнее излучение уходит 10 % мощности. Принять СВЧ-печь за точечный источник мощностью 1 кВт.

61. Какова минимальная толщина покрытия на изделиях чешской бижутерии, если при нормальном падении условие максимума при отражении должно выполняться для зеленого цвета (λ = 0,53 мкм).показатель преломления покрытия n =1.4

62. Какова минимальная толщина покрытия на объективе фотоаппарата (голубая оптика), если при нормальном падении условие минимума при отражении должно выполняться для красного цвета (λ = 0,7 мкм).показатель преломления покрытия n =1.4

Испускание и поглощение фотонов квантовой системой Рассмотрим вероятность перехода атома с одного уровня на другой под действием электромагнитного поля.

Точная теория рассеяния. Фазы рассеянных волн и эффективное сечение Вернёмся к точному уравнению (3). Решение этого уравнения, отвечающее энергии , квадрату момента  и проекции момента , выражается через шаровую функцию: .

-оператор и матрица рассеяния В предыдущем разделе мы ввели матрицу рассеяния, исходя из стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим теперь подход, основанный на использовании временной теории возмущений. Пусть до момента времени  система находилась в состоянии , затем включается возмущение и в момент времени , когда выключается возмущение, ищется вероятность перехода в некоторое состояние   (). Если  - оператор временной эволюции, то состояние системы в момент  будет:

Системы одинаковых квантовых частиц

Постановка задачи вторичного квантования  Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц. Пусть  - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему   невзаимодействующих частиц, из которых   частиц описываются волновой функцией ,  - волновой функцией  и т.д. с полным числом частиц .


Характеристические рентгеновские спектры