Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Возмущение при наличии вырождения

Считаем, что собственному значению  нулевого гамильтониана  отвечает несколько собственных функций:   (- кратность вырождения). Вместо этих функций можно взять произвольную линейную комбинацию

 .

Это также будет решение уравнения Шредингера, отвечающее собственным значениям энергии . Поэтому возникает вопрос: как получить правильное нулевое приближение задачи с гамильтонианом

 .

Для получения ответа обратимся к уравнению (8), в котором мы учтём вырождение, заменяя  на  на :

,  (15)

, (16)

 ,

- энергия невозмущённого уровня. Пусть мы хотим найти уровень энергии возмущённой системы , близкий к , и соответствующую волновую функцию . В отсутствие вырождения мы просто считали, что функции нулевого приближения совпадают с невозмущёнными и поэтому , а остальные  ().

теперь будем считать, что

Чтобы получить правильную волновую функцию нулевого приближения, из уравнений (16) выберем те, в которые входят коэффициенты , не равные нулю:

.

Так как мы ограничиваемся уровнем , то для упрощения записи опускаем индекс  в матричных элементах энергии возмущения и коэффициентах разложения (держа его в уме). Тогда в упрощённой записи имеем:

  (17)

 оставляем индекс , чтобы подчеркнуть, что речь идёт об уровне энергии ). Равенства (17) – это однородная система уравнений. Она имеет нетривиальные решения, если её определитель  равен нулю, т.е. если

.

Это уравнение относительно  степени , оно называется вековым (или секулярным). Из него получаем  корней: .

Таким образом, при наложении возмущения вырожденный уровень расщепляется на ряд близких уровней, т.е. вырождение снимается. При наличии кратных корней вырождение снимается лишь частично. Для каждого из корней  решаем систему уравнений (17) и получаем свой набор амплитуд . Чтобы это отметить, введём для  ёще один индекс (), так что набор амплитуд для уровня с энергией  запишется так:

Мы получили волновую функцию нулевого приближения. Каждый уровень энергии   описывается своей волновой функцией:

 .

Критерий применимости теории возмущений имеет вид:

.

Пример 9. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного  стронция 90Sr38 распадается в течение одного года.

Решение.

m = 10-3 кг Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г 90Sr38

Т1/2 = 27 лет используем соотношение N = nNA = Nam/m , где NA посто-

t = 1 год янная Авогадро, n - число молей в изотопе стронция,

  m- молярная масса изотопа.

Для изотопа стронция 90Sr38 молярная масса m = 90 × 10-3 кг/моль

Используем закон радиоактивного распада:

N =N0 e-lt  (2)

где N0 - начальное ядер число нераспавшихся в момент t = 0

  N - число нераспавшихся ядер в момент t ;

 l - постоянная радиоактивного распада;

 e-lt = eхp - lt - экспоненциально затухающая функция.

Количество распавшихся ядер 90Sr38 в течение 1 года:

Nt =N0 - N = N0 ( 1 - e-lt ) (3)

Учитывая , что постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением l =(ln 2)/T1/2 ,получим :

Nt = N0 [ 1 - eхp - ( t ln2 )/T1/2 ] (4)

Подставляя (1) в выражение (4), имеем:

Nt = NA(m/m)[ 1 - eхp - ( t ln2 )/T1/2 ] (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем:

Nt = 6.02×1023 × 10-3×( 90×10-3) [ 1 - eхp ( - 0.693 × 1/27)] = 6.4×1021 ядер.

Проверим размерность:

[ Nt] = моль-1× кг×( кг/моль)-1 = - безразмерно.

Ответ: Nt = 6.4×1021 ядер.


Характеристические рентгеновские спектры