Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Теория возмущений

Содержание

Постановка задачи.

Возмущение в отсутствие вырождения уровня .

Возмущение при наличии вырождения.

Временная теория возмущений. Квантовые переходы. Функция Грина.

Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции

Теория возмущений для оператора эволюции.

Вероятность квантового перехода физической системы.

Испускание и поглощение фотонов квантовой системой.

Постановка задачи

Задачу на собственные значения оператора , т.е. уравнение Шредингера для стационарных состояний, удаётся решить аналитически лишь в очень немногих случаях. Простых аналитических решений для большинства задач не существует. Поэтому приходится искать некоторые приближённые методы решения. Одним из приближенных методов является метод возмущений, который применяется тогда, когда оператор гамильтониана  задачи мало отличается от некоторого гамильтониана , для которого уравнение Шредингера решается точно. Тогда оператор

 

можно рассматривать как малую поправку к  (малое возмущение). Пусть, например, атом взаимодействует с внешним электромагнитным полем, которое мало по сравнению с внутриатомным полем. Тогда действие внешнего поля можно считать малым возмущением.

Итак, пусть

, (1)

причём ,  - малый параметр, . Считаем, что решение задачи на собственные значения оператора  известно:

.  (2)

Наша задача заключается в решении возмущённой задачи

  (3)

на основании известных решений задачи (2).

Искомую функцию  разложим по полной системе волновых функций невозмущённой задачи (для простоты полагаем, что рассматриваемая квантовая система является одномерной):

. (4)

Подставляем (4) в (3), полученное равенство умножаем на  и интегрируем по всему пространству. В результате получаем:

 . (5)

Вычислим матричный элемент , учитывая представление (1) для оператора Гамильтона:

,  (6)

где  - матричный элемент энергии возмущения. Подстановка (6) в (5) даёт:

 (7)

или

.  (8)

Пока выражение (8) - точное уравнение. Теперь же будем считать, что , где   - малый параметр. Если , то из (8) выводим:

.

Полагая здесь  при , , т.е. , получаем: . Согласно (4), это значение энергии отвечает волновой функции . Это точное решение невозмущённой задачи (см. формулу (4), в которой нужно положить ).

При разложим  и  в ряд по степеням :

  (9)

Наша задача - найти коэффициенты этих разложений.

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня 

Пусть каждому уровню энергии  соответствует только одна волновая функция . Подставляем (9) в (8) и затем собираем члены с одинаковыми степенями  (учитываем лишь члены ):

.  (10)

Если положить , получим нулевое приближение. Пусть нас интересует уровень , т.е. уровень с энергией, близкой к . Тогда из решений

выбираем -ое: 

.  (11)

Это - нулевое приближение.

Это решение подставляем в (10) (сохраняем лишь члены порядка ):

.  (12)

Если взять уравнение с  (в этом случае два последних слагаемых в левой части (12) обращаются в нуль), то:

.

Мы получили, таким образом, поправку первого порядка к энергии. Если   (первое слагаемое слева в (12) обращается в нуль), то из (12) выводим:

.  (13)

Чтобы найти второе приближение, нужно учесть в (10) члены .

Очевидно, что условие малости возмущения имеет вид (см.(13)): . Это неравенство является условием применимости теории возмущений.

Учитывая разложения (4) и (9), выпишем наше решение в первом приближении:

  (14)

Таким образом, поправка к уровням энергии в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущённом состоянии .

Пример 8. При анализе содержания сахара используется явление вращения плоскости поляризации света. Определить процентное содержание сахара в кювете длиной 1дм., если плоскость поляризации света повернулась после прохождения раствора на угол φ = 80 . Постоянная вращения сахара α =660 град\м

L = 1 дм =0,1 м

φ = 80 

α =660 град\м

Определить: С(%)

Угол поворота плоскости поляризации света после прохождения раствора

длиной L пропорционален длине пути света и концентрации раствора С:

φ = α С L

Поэтому концентрация сахара равна:

 φ 80 

С = ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =0,121 = 12,1 %

 α L 660 град\м × 0,1 м

Ответ: концентрация сахара С = 12,1 %


Характеристические рентгеновские спектры