Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Расщепление спектральных линий в магнитном поле

 Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле , которое направлено вдоль оси . Векторный потенциал выберем в виде:

.

Электрон атома будет подвергаться одновременно действию магнитного поля и электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое поле будем считать центрально-симметричным, и потенциальную энергию электрона в нём обозначим через . Подставим выражение для вектора-потенциала в уравнение Паули:

. (18)

Здесь мы опустили члены , считая их малыми. Далее, учитывая равенство

  , получаем:

 (19)

где  - гамильтониан электрона в отсутствие магнитного поля. Последнее слагаемое в правой части (19) – это потенциальная энергия взаимодействия магнитного диполя с моментом  в магнитном поле :

.  (20)

Мы ищем стационарные состояния:

.  (21)

Подстановка (21) в (19) даёт:

.  (22)

Рассмотрим представление, в котором матрица  диагональна:

.

Уравнение (22) распадается на два независимых уравнения:

  (23)

Решение  () отвечает ориентации спина электрона по (против) оси . В отсутствие магнитного поля мы имеем две функции:

  при  и

  при  (24)

Будем считать, что

.

Тогда функции (24) будут подчиняться уравнениям (23), но принадлежать другим собственным значениям энергии:

Итак, сами волновые функции не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Но энергия начинает зависеть от ориентации момента относительно поля, т.е. уровни энергии в магнитном поле расщепляются.

Рассмотрим уровень энергии для   - терма ():

Благодаря расщеплению уровней возрастает число возможных переходов, и вместе с ними спектральных линий. Это явление называется эффектом Зеемана.

Можно показать, что при оптических переходах число  может изменятся лишь на   либо оставаться неизменным. Кроме того, спин электрона очень слабо взаимодействует с полем световой волны, поэтому можно считать , что спин не изменяется. Здесь на рис. справа внизу изображены уровни для -терма (), а вверху – для -терма ().

 Если обозначить частоту перехода при  через , то получаем частоты:

.  (25)

Так как , то имеем три частоты: одну неизменную и две – смещённые:  (это нормальный триплет Зеемана). Постоянная Планка в (25) не входит, т.е. это чисто классический эффект. Классическая теория объясняет эффект Зеемана прецессией орбиты электрона в магнитном поле с частотой Лармора .

Пример 3 Определить плотность смеси газов ( 60 % пропана - С3Н8,30% бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.

Решение. СИ

m1(С3Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль - “ -

m1/m= 0.6 - “ -

m2 (С4H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль - “ - 

m2/m =0.3 - “ -

m3 (СН4) = ( 12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль - “ -

m3/m = 0.1 - “ -

t = 270C Т = 300 К

P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па

Определить: r

По закону Дальтона давление смеси газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1( C3 H8), P2(C4 H10) ,P3 (CH4) :

P = P1 + P2 + P3  (1)

Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):

Pi V = (mi /mi )RT (2)

Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:

Pi = (mi /mi )RT/V (3)

Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для смеси газов:

P V = (m /m )RT (4)

Плотность газа равна:

r = m/V = Pm/ RT (5)

 Молярную массу смеси можно найти подставив (3) в (1) :

P =(m1/m1)RT/V + (m2 /m2 )RT/V + (m3 /m3 )RT/V = (m/m) RT/V (6) 

Из уравнения (6) молярная масса m равна:

m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)

Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности смеси:

r = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m) 

Проверим размерность получившейся формулы:

[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм=

кг/м3

r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = = 0.175×10 =1.75 кг/м3

Ответ: r = 1.75 кг/м3

Оператор квадрата момента импульса Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат

Мультиплеты и спин электрона Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии, состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения. О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях. Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в результате квантовых переходов электронов в атомах с одного уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя уровнями энергии -  и . При переходе электрона  излучается фотон с частотой .

Полный момент импульса является суммой орбитального  и спинового  моментов: .