Расщепление спектральных линий в магнитном поле
Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле
, которое направлено вдоль оси
. Векторный потенциал выберем в виде:
.
Электрон атома будет подвергаться одновременно действию магнитного поля
и электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое поле будем считать центрально-симметричным, и потенциальную энергию электрона в нём обозначим через
. Подставим выражение для вектора-потенциала в уравнение Паули:
. (18)
Здесь мы опустили члены
, считая их малыми. Далее, учитывая равенство
, получаем:
(19)
где
- гамильтониан электрона в отсутствие магнитного поля. Последнее слагаемое в правой части (19) – это потенциальная энергия взаимодействия магнитного диполя с моментом
в магнитном поле
:
. (20)
Мы ищем стационарные состояния:
. (21)
Подстановка (21) в (19) даёт:
. (22)
Рассмотрим представление, в котором матрица
диагональна:
.
Уравнение (22) распадается на два независимых уравнения:
(23)
Решение
(
) отвечает ориентации спина электрона по (против) оси
. В отсутствие магнитного поля мы имеем две функции:
при
и
при
(24)
Будем считать, что
.
Тогда функции (24) будут подчиняться уравнениям (23), но принадлежать другим собственным значениям энергии:
Итак, сами волновые функции не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Но энергия начинает зависеть от ориентации момента относительно поля, т.е. уровни энергии в магнитном поле расщепляются.
Рассмотрим уровень энергии для
- терма (
):
Благодаря расщеплению уровней возрастает число возможных переходов, и вместе с ними спектральных линий. Это явление называется эффектом Зеемана.
Можно показать, что при оптических переходах число
может изменятся лишь на
либо оставаться неизменным. Кроме того, спин электрона очень слабо взаимодействует с полем световой волны, поэтому можно считать , что спин не изменяется. Здесь на рис. справа внизу изображены уровни для
-терма (
), а вверху – для
-терма (
).
Если обозначить частоту перехода при
через
, то получаем частоты:
. (25)
Так как
, то имеем три частоты: одну неизменную и две – смещённые:
(это нормальный триплет Зеемана). Постоянная Планка в (25) не входит, т.е. это чисто классический эффект. Классическая теория объясняет эффект Зеемана прецессией орбиты электрона в магнитном поле с частотой Лармора
.
Пример 3 Определить плотность смеси газов ( 60 % пропана - С3Н8,30% бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.
Решение. СИ
m1(С3Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль - “ -
m1/m= 0.6 - “ -
m2 (С4H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль - “ -
m2/m =0.3 - “ -
m3 (СН4) = ( 12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль - “ -
m3/m = 0.1 - “ -
t = 270C Т = 300 К
P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па
Определить: r
По закону Дальтона давление смеси газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1( C3 H8), P2(C4 H10) ,P3 (CH4) :
P = P1 + P2 + P3 (1)
Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):
Pi V = (mi /mi )RT (2)
Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:
Pi = (mi /mi )RT/V (3)
Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для смеси газов:
P V = (m /m )RT (4)
Плотность газа равна:
r = m/V = Pm/ RT (5)
Молярную массу смеси можно найти подставив (3) в (1) :
P =(m1/m1)RT/V + (m2 /m2 )RT/V + (m3 /m3 )RT/V = (m/m) RT/V (6)
Из уравнения (6) молярная масса m равна:
m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)
Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности смеси:
r = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)
Проверим размерность получившейся формулы:
[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм=
кг/м3
r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = = 0.175×10 =1.75 кг/м3
Ответ: r = 1.75 кг/м3
Оператор квадрата момента импульса Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат
Мультиплеты и спин электрона Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии, состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения. О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях. Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в результате квантовых переходов электронов в атомах с одного уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя уровнями энергии -
и
. При переходе электрона
излучается фотон с частотой
.
Полный момент импульса является суммой орбитального
и спинового
моментов:
.