Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Оператор квадрата момента импульса

 Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат:

  (5)

- оператор Лапласа для сферы (угловая часть оператора Лапласа),

.

Заметим, что операторы (5) действуют только на угловые переменные. Это упрощает решение задачи на собственные значения

.  (6)

Можно считать, что . Подставляя (5) в (6) и обозначая , найдём:

.  (7)

Это уравнение для шаровых функций. Решение этого уравнения, отвечающее стандартным условиям, существует лишь при

,  (8)

где  - целое положительное число .

Приведем определение шаровых функций:

,  (9)

- полином Лежандра, . Постоянная в (9) выбирается так, чтобы выполнялось условие ортонормировки шаровых функций

.

Из (6)-(8) получаем:

.

Собственному значению  с фиксированным  отвечают  собственных функций, отличающихся значениями . Шаровые функции (9) являются собственными функциями оператора  (5):

. (10)

Оператор

 Рассмотрим задачу на собственные значения оператора :

.  (11)

Решение уравнения (11) дается формулой

.  (12)

Так как углы  и  физически эквивалентны, то должно выполняться равенство , представляющее собой условие однозначности -функции. Подставляя в это условие (12), найдём:

  .

Итак,

. (13)

Как видим, - компонента вектора момента импульса квантуется согласно (13).

 Очевидно, что функция  (9) также является собственной функцией оператора   и отвечает собственному значению  Очевидно, что величина , как проекция вектора , не может быть больше, чем : ; обозначим , тогда  принимает значения , всего  значений.

 Итак, модуль момента импульса может принимать определенное значение, равное . Для фиксированного  проекция момента на ось  может принимать  значений . Две другие проекции совершенно не определены. Это значит, что для квантовой частицы вектор  не имеет определённого направления в пространстве. Величина  называется орбитальным квантовым числом (орбитальным моментом), а - магнитным квантовым числом (магнитным моментом).

Чтобы объяснить название (магнитный момент) рассмотрим виток с током . Когда частица движется по орбите, возникает круговой ток ,  - заряд частицы,  - частота вращения. Такой ток обладает магнитным моментом  ( - радиус орбиты). Орбитальный момент:  ( - масса электрона,  - скорость частицы). Тогда   . Знак «-» указывает на то, что   и  имеют противоположные направления. Так как , то ;  - гиромагнитное отношение,  - магнетон Бора. Как видим, квантовое число  определяет величину магнитного момента.

Примеры решения задач

Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0 .

Решение.

Перевод в СИ

m = 30 кг 30 кг

D = 60 см 0,6 м

w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с

t = 2 c 2 c

Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).

Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:

dj

w(t) = ¾¾ (1)

dt

Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:

 t 

 j(t) = ò w(t) d t  + j

 0 

При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:

 t 2×t11

 j(t) = ò 2×t10 d t  + j0 = ¾¾ (3)

 0 11 

 2×211

В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = ¾¾

  11 

= 372,3 » 372 рад.

Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:

  dw d

 e = ¾¾¾¾ ( 2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)

 dt dt

В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:

 e ( t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2 

Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:

 М = I ×  e (5)

где I - момент инерции тела.

В нашем случае момент инерции колеса равен:

 I = mR2 = mD2/4 (6)

 

Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:

 mD2 20 t9

  М = ¾¾ ×¾¾

  4 

При t = 2 c

 30 × ( 0,6)2 20×29

 M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м

 4

Момент количества движения равен:

 L = I w  (7)

Подставляя выражения для w  и (6) в (7) получим:

 mD2 2 t10

 L = ¾¾ ¾¾

 4

При t = 2 c

 30× (0,6)2 × 2× 210

 L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с

 4

Проверим размерность полученных выражений.

 рад с11

 [j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;

 с11 

 рад с9

 [e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾  = рад/с2

 с11

 mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м 

 [M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м

  4 11 с11 с2 

 кг м2 c10

 [L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1

 c11

Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м

L(t) = 5,53× 103 кг м2/с


Характеристические рентгеновские спектры