Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Туннельный эффект

Рассмотрим потенциальный барьер высотой  в области , на который падают свободные частицы.

Имеются три области – области I и III, в которых , и область II, в которой . Рассмотрим частицы с энергией . В классической механике так как  (- кинетическая энергия частицы). Значит, классическая частица не может проникнуть вглубь барьера. Точка  является точкой поворота: столкнувшись с барьером, частица отражается и летит в обратном направлении. Если , то классическая частица беспрепятственно проходит область II над барьером.

Итак, для классической частицы барьер не создаёт никаких преград, если , и является непроницаемым, если .

Поведение квантовой частицы совершенно иное.

В областях I и III движение частицы является свободным:

.

В области II движение описывается уравнением

.

Решения в различных областях запишутся следующим образом:

  (24)

Составляющие  и  описывают волны, падающие на барьер, и отражённые от барьера волны,  - прошедшая сквозь барьер волна. Эти функции нужно подчинить  условиям непрерывности вместе с первой производной в точках :

Подставляя в последние равенства выражения (24), получаем систему уравнений

 

Решив эту систему уравнений, можно выразить амплитуду  прошедшей волны через амплитуды   падающей и  отраженной волн.

Как решить эту систему? Исключаем  из первых двух:

.

Затем исключаем  из двух других:

.

Получаем, таким образом, систему двух уравнений для  и . С помощью последнего уравнения выражаем   через ,

 ,

и затем  подставляем в первое:

.

Выразив  и  через амплитуду падающей волны , можно теперь с помощью приведенной выше системы уравнений выразить амплитуду  прошедшей волны через амплитуду падающей: .

Воспользуемся формулой для плотности потока вероятности:

.

Вычислим плотности потока падающей и прошедшей волн:

и отношение плотности потока прошедшей к плотности потока падающей волн:

.  (25)

Величина  называется коэффициентом прохождения частицы сквозь барьер (или коэффициентом прозрачности барьера), а величина  - коэффициентом отражения от барьера. В силу постоянства потока вероятности вдоль оси  () величины  и  связаны между собой равенством: . В самом деле, вычислим плотность потока вероятности  в состояниях  и  (24):

.

Отсюда, учитывая равенство , выводим:   .

Неравенство  означает, что квантовая частица способна проходить сквозь барьер. Это явление называется туннельным эффектом.

Расчёт показывает, что

 (26)

где  - глубина проникновения в классически недоступную область (см. (22)), . Из (26) следует, что  при . Следовательно, туннельный эффект - чисто квантовое явление. Величина  зависит от : чем шире барьер, тем меньше коэффициент прозрачности барьера.

Приведем численную оценку. При  получаем:

Если же положить , то при той же величине величина  возрастет на 8 порядков и коэффициент прохождения   будет практически равен нулю.

Первый закон Вина:

,  (5.14)

где λmax – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, Т – термодинамическая температура, C1=2.9∙10-3 м∙К.

Второй закон Вина:

, (5.15)

где r – спектральная плотность энергетической светимости, C2=1,29∙10-5 Вт/(м3∙К5).

Примеры решения задач по теме №5

Пример 5.1. Белый свет, падающий под углом 300 на мыльную пленку с показателем преломления 1,33, дает в проходящем свете интерференционный максимум на волне длиной λ1=693 нм и ближайший к нему минимум на волне длиной λ2=630 нм. Какова толщина пленки, если считать ее постоянной?

Дано:  λ1=693 нм =693∙10-9м,

λ2=630 нм =630∙10-9м,

n=1,33,

α=300,

Найти: d

Решение

Запишем условия максимума и минимума интерференции в проходящем свете:

; (5.1.1)

.  (5.1.2)

Здесь d – толщина пленки, n – показатель преломления пленки, β – угол преломления, λ – длина волны света, k1 – порядок максимума, k2 – порядок соседнего минимума.

По условию k2=k1+1. Вычтем из (5.1.2) (5.1.1):

  (5.1.3)

Подставим в последнее уравнение системы (5.1.3) числовые данные:

.  (5.1.4)


Используя закон преломления, определим угол преломления β (рис.5):

Рис.5

  (5.1.5)

Полагая, что n1=1 (показатель преломления воздуха) получим:

.

Выразим из (5.1.1) d и подставим числовые данные:

.

Ответ: толщина пленки d=4,2 мкм.

Простейшие задачи квантовой механики

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле Пусть на частицу с зарядом  действует электрическое поле с напряженностью . Если , то потенциал поля можно взять в виде . Тогда потенциальная энергия частицы составит: .

Квантовый гармонический осциллятор В классической механике полная энергия осциллятора дается формулой , где  - масса частицы,  - собственная частота осциллятора. Выполняя здесь замену , получаем оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

Частица в потенциальной яме Рассмотрим движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме

Два типа туннельных эффектов В предыдущем разделе мы рассмотрели свободные электроны, падающие на барьер. При этом оказалось, что , т.е. эти величины не зависят от координат. Поэтому , т.е. при прохождении свободного электрона сквозь барьер не возникает источников или стоков вектора . Прохождение свободного электрона сквозь барьер будем называть туннельным эффектом первого типа. В силу уравнения непрерывности , в этом случае . Значит, туннельный эффект первого типа - это стационарный процесс, состоящий в том, что свободные электроны перемещаются из одной области пространства в другую, разделённые потенциальным барьером конечной ширины.

Момент импульса микрочастицы


Характеристические рентгеновские спектры