Сверхпроводимость Ядерные силы Деление ядер m Элементарные частицы Кварки Поляризация диэлектриков Применение закона Ампера Соединение конденсаторов Кинематика Фотонный газ Постулаты Бора

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Квантовый гармонический осциллятор

В классической механике полная энергия осциллятора дается формулой

 ,

где  - масса частицы,  - собственная частота осциллятора. Выполняя здесь замену , получаем оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

.  (11)

Введём безразмерную величину

, (12)

подобрав параметр  так, чтобы уравнение (11) свелось к следующему:

  (13)

Конечные, непрерывные и однозначные решения уравнения (13) имеются лишь при . Отсюда получаем спектр энергии:

. (14)

Согласно (14), энергетический спектр состоит из набора эквидистантных уровней: . В основном состоянии энергия частицы составляет .

 Собственные функции даются формулой:

,  (15)

где  - полином Эрмита, . Нормировочный множитель выбран здесь так, чтобы выполнялось условие .

Приведём -функции для нескольких состояний:

 

 

 .

Как видно из приведенных формул, число узлов волновой функции совпадает с квантовым числом . Напомним, что узел – это точка конечной части плоскости, в которой - функция обращается в нуль.

Сравним полученные результаты с картиной движения классического осциллятора.

Решение классического уравнения движения гармонического осциллятора с частотой ,

можно записать в виде:

  (16)

где  - амплитуда колебаний,  - начальная фаза. Из выражения для полной энергии частицы, совершающей осцилляции по закону (16),

 ,

определим амплитуду колебаний: . Если полная энергия равна энергии основного состояния (см. (14)), то

 .

Значит, величина  (см.(13)) имеет следующий смысл: это амплитуда колебаний классического осциллятора, энергия которого равна энергии основного состояния квантового осциллятора. Классический осциллятор с полной энергией   совершает колебания, оставаясь в области , где точки  являются точками поворота. Квантовая же частица в основном состоянии с ненулевой вероятностью может оказаться и вне области , как это видно из функции распределения квантовой частицы в основном состоянии  (см. рис.).

 

  Рис. Пунктирная кривая изображает потенциальную энергию гармонического осциллятора , сплошная – функцию распределения квантовой частицы , заштрихованные участки под функцией распределения отвечают областям  и , которые являются классически недоступными.

Вычислим вероятность нахождения классической частицы в области . Очевидно, что эта вероятность пропорциональна времени , в течение которого частица проходит расстояние . Если  - период колебаний, то указанная вероятность выражается формулой ,  - скорость частицы. Выразим  как функцию координаты  (см. формулу (16)):

.

Учитывая приведенные выше формулы, получаем искомую величину (при ):

.  (17)

Соответствующее квантовое выражение для вероятности нахождения частицы в интервале  имеет вид (считаем, что частица находится в состоянии ):

.  (18)

Как видно из (17) и (18), различие между классическим и квантовым выражениями очень велико (см. рис.).

  Рис. Заштрихованные участки изображают области, в которых движение классической частицы запрещено.

Отметим, что по классической теории наименьшая энергия осциллятора . Это значит, что частица покоится на дне потенциальной ямы. Квантовая же частица в основном состоянии обладает энергией . Это энергия нулевых колебаний.

Осциллятор описывает поведение частиц, совершающих малые колебания относительно положения равновесия. Примеры: атомы в молекуле, в твёрдом теле. Наличие нулевых колебаний атомов доказывают опыты по рассеянию света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями атомов. Согласно классической теории, по мере уменьшения абсолютной температуры  амплитуда колебаний должна уменьшаться и соответственно должна уменьшатся интенсивность рассеянного света. Но опыт показывает, что интенсивность рассеянного света стремится к некоторой величине при . Это значит, что колебания атомов не прекращаются и при . Это и есть нулевые колебания.

Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда этих колебаний за 3 мин?

Амплитуда затухающих колебаний маятника за 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в 8 раз?

Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания.

Логарифмический декремент затухания колебаний маятника 0,003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в 2 раза?

ТЕМА №5. ОПТИКА

Законы и формулы к выполнению задач по теме №5

Волновая оптика

Условие максимума интерференции когерентных волн при падении света на тонкую пленку:

.  (5.1)

Условие минимума интерференции когерентных волн при падении света на тонкую пленку:

, (5.2)

где d – толщина пленки, n – показатель преломления пленки, β – угол преломления, λ – длина волны света, k – порядок максимума или минимума. Условия максимума и минимума в пунктах 1 и 2 записаны для проходящего света. В отраженном свете условиям максимума и минимума обратны условиям в проходящем свете.

Радиус светлого кольца Ньютона в проходящем свете:

.  (5.3)

Радиус темного кольца Ньютона в проходящем свете:

.  (5.4)

Условие дифракционного максимума для одной щели:

.  (5.5)

Условие дифракционного минимума для дифракционной решетки:

.  (5.6)

В условиях 5 и 6 а – ширина щели, d – период дифракционной решетки,

φ – угол дифракции, k – порядок максимума или минимума, λ – длина волны света.


Характеристические рентгеновские спектры