Постулаты Бора Квантовый гармонический осциллятор Щелочные металлы Характеристические рентгеновские спектры Фотонный газ Электронный газ и его некоторые свойства Электроны в кристаллах Примесная проводимость полупроводников

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции

Измерение физической величины представляет собой процесс взаимодействия системы, над которой проводят измерение, с прибором. Нас интересует квантовая система. В результате этого взаимодействия прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантовой системы. Пусть состояние прибора характеризуется величиной g (показания прибора). Волновую функцию прибора обозначим через ,  - совокупность координат прибора. Прибор будем считать классическим, т.е. подчиняющимся классической механике.

Следует подчеркнуть важную особенность измерения в квантовой механике: измеряемая система подчиняется законам квантовой механики, а прибор – классической.

Пусть  и  - волновые функции прибора и электрона, соответственно, в начальном состоянии (до измерения),  - координата электрона. Так как состояния прибора и электрона до измерения независимы, то начальная волновая функция всей системы равна . Далее электрон и прибор взаимодействуют друг с другом, в результате взаимодействия волновая функция всей системы изменяется и уже не будет произведением функции от  и функции от . Разлагаем её по собственным функциям прибора:

, (13) 

где - коэффициенты разложения, которые являются некоторыми функциями .

Теперь на сцену выступает классичность прибора, которая проявляется в том, что в каждый момент времени показания прибора  должны иметь строго определённые значения. Это значит, что состояние всей системы после измерения должно описываться не всей суммой, а лишь определённым слагаемым в (13), например, . Отсюда видно, что величина  пропорциональна волновой функции электрона после измерения. В силу линейности уравнений в квантовой механике, связь между  и начальной функцией электрона должна быть линейной:

  , (14)

где ядро интегрального оператора  характеризует процесс измерения. Функция  содержит информацию как о свойствах  состояния, возникшего в результате измерения, так и о вероятности появления -го показания прибора, которая зависит от начального состояния системы.

Величина должна иметь вид:

,

где  - определённая функция,  - постоянная, зависящая от начального состояния. Отсюда видно, что ядро  должно иметь вид:

,

где - некоторые функции, зависящие от процесса измерения. Действительно, подставляя эти выражения в (14), получаем:

 ,

т.е.

.  (15)

В соответствии с общей интерпретацией,  - это вероятность того, что в результате измерения, проведенного над квантовой системой, получен -ый результат; при этом, очевидно, .

Если начальная волновая функция электрона совпадает с одной из , то, очевидно, =1, а все другие коэффициенты , т.е. измерение, проводимое над электроном, с достаточной точностью даст -ый результат. При этом  не совпадает с . Если электрон находится в состоянии  (), то произведённое над ним измерение даст с достоверностью . Но после измерения, в результате взаимодействия электрона с прибором, электрон окажется в состоянии , отличном от , в котором величина  не имеет строго определённого  значения. Это означает невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике. Если бы сразу же за первым измерением величины   мы произвели повторное измерение, то получили бы значение , не совпадающее с .

Как видно из изложенного, информация, содержащаяся в -функции, имеет статистический характер. Мы можем определить лишь вероятность получения в результате измерения того или иного значения физической величины.

Далее: состояние микрочастицы, над которой производится измерение, изменяется по сравнению с начальным состоянием. Поэтому для воспроизведения большого числа измерений над одним и тем же состоянием нужно приготовить большое число частиц, которые независимо друг от друга находятся в одном и том же состоянии, Такой набор частиц называется чистым статистическим ансамблем. Выполнив измерение над какой-либо частицей, мы изменяем ее состояние и выбрасываем её из рассмотрения. В результате большого числа измерений мы получаем набор чисел , дающих распределение вероятностей различных значений . Зная , мы тем самым знаем и волновую функцию состояния, над которым проводилось измерение, и чем большее число измерений проведено, тем точнее мы знаем состояние  частицы в нашем ансамбле. Таким образом, по результатам измерений мы можем восстановить волновую функцию.

Часто на опыте мы встречаемся со смешанным ансамблем: когда ансамбль содержит частицы  в различных состояниях , причём указаны вероятности  каждого из этих состояний.

Укажем на существенное различие между чистым и смешанным ансамблями. Из состояний  образуем волновую функцию

.

Если каждая из частиц находится в этом состоянии, то это чистый ансамбль.

Пусть теперь известно, что система может находиться в состоянии   с вероятностью , в состоянии   - с вероятностью  и т.д. Тогда это смешанный ансамбль.

В случае чистого ансамбля плотность вероятности нахождения частицы в точке  составляет:

.

В смешанном же ансамбле  - вероятность того, что частица находится в состоянии , а - вероятность того, что частица находится в точке , будучи в состоянии . Поэтому полная плотность вероятности выражается формулой

.

Таким образом, в чистом ансамбле имеется интерференция между отдельными частными состояниями, в отличие от смешанного. В чистом ансамбле складываются амплитуды, а в смешанном – интенсивности.

Замечание: В результате измерения величины  в состоянии , это состояние переходит в одно из состояний вида, где - собственная функция оператора . Такое изменение волновой функции , возникающее при измерении, называется редукцией волнового пакета. В результате измерения чистый ансамбль превращается в смешанный, который характеризуется величинами:

 

Действие прибора сводится, таким образом, к тому, что он осуществляет спектральное разложение волновой функции чистого ансамбля, превращая чистый ансамбль в смешанный.

 

Контрольные вопросы

Что такое амплитуда вероятности?

Как вероятность результатов измерений связана с амплитудой вероятности?

Как вычислить вероятность отдельных результатов измерения физической величины в квантовой системе, находящейся в некотором состоянии?

При каком условии можно одновременно измерить две различные физические величины?

Можно ли одновременно измерить координату микрочастицы и одноименную компоненту импульса?

Сформулировать соотношения неопределенностей для координат и импульсов.

Каковы физические следствия соотношений неопределенности?

Можно ли определить понятие траектории микрочастицы?

Сохраняют ли квантовые частицы свою индивидуальность в системах одинаковых частиц?

В чем проявляется классичность прибора при измерениях, проводящихся над квантовой системой?

Что означает невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике?

Что такое статистический ансамбль? Можно ли проводить измерения над микросистемой, не приготовив статистический ансамбль ее состояний?

Чем отличается чистый ансамбль от смешанного?

Что такое редукция волнового пакета?

Почему действие прибора сводится к спектральному разложению волновой функции чистого ансамбля?

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Тема 8. Электростатика.

Элементарный заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Электрическое поле и его характеристики. Принцип суперпозиции в линейной электродинамике. Типы диэлектриков. Свободные и связанные заряды. Поляризуемость. Поток вектора напряженности и вектора индукции электрического поля. Теорема Остроградского - Гаусса. Потенциальный характер электрического поля. Связь между вектором напряженности электрического поля и потенциалом.

Линейные и нелинейные электрические свойства. Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики и их применение. Электростатические поля в технологии строительных материалов /изготовление линолеума, ворсистых покрытий/. Электростатические фильтры в промышленности. Свойства антистатиков.

Проводники в электрическом поле. Электрическое поле внутри проводника и у его поверхности. Защита от электростатических полей. Распределение зарядов в проводнике и у его поверхности. Конденсаторы. Соединение конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Тема 9. Постоянный электрический ток.

Постоянный электрический ток. Классическая электронная теория электропроводности металлов. Закон Ома в дифференциальной форме. Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение. Работа и мощность тока.

Термоэлектричество и его использование в современной технике и технологии.

Тема 10.Магнитное поле.

Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямолинейного и кругового тока. Магнитный момент витка с током. Закон полного тока для магнитного поля.

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток Теорема Гаусса. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Принципы работы электродвигателей.

Электромагнитная индукция. Опыты Фарадея. Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции. Принципы работы генераторов электрического тока. Явления самоиндукции и взаимной индукции. Индуктивность проводников. Трансформатор. Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Электромагнитные методы определения параметров материалов.

Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Намагниченность. Диа-, пара-, ферромагнетизм. Магнитный гистерезис.

Магнитные материалы и их использование в современных технологиях. Магнитные методы дефектоскопии. Принципы магнитной записи и воспроизведения информации.

Уравнения Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения Система уравнений Максвелла в интегральной форме. Плотность энергии электромагнитного поля. Плотность потока энергии электромагнитного поля, вектор Умова-Пойнтинга. Шкала электромагнитных волн.

Принцип суперпозиции

Среднее значение координат и импульсов

Свойства операторов физических величин В квантовой механике используются линейные операторы, т.е. операторы, обладающие свойствами:  (15) где , - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым (самосопряженным).

Собственные значения и собственные функции операторов. Задача на собственные значения операторов Поставим задачу: найти такие состояния микросистемы, в которых физическая величина имеет строго определённые значения.

Измерение физических величин в квантовой механике Вероятность результатов измерения физической величины. Условие возможности одновременного измерения разных физических величин. Соотношения неопределенностей и их физические следствия.

Условие возможности одновременного измерения разных физических величин Рассмотрим состояние частицы с определённым значением координаты.

Соотношения неопределенностей и их физические следствия Рассмотрим отклонение результата измерения координаты от среднего значения, т.е. абсолютную погрешность координаты: . Так как , то за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего значения принимают не , а среднее квадратичное отклонение .

Уравнение Шредингера


Поляризация диэлектриков