Постулаты Бора Квантовый гармонический осциллятор Щелочные металлы Характеристические рентгеновские спектры Фотонный газ Электронный газ и его некоторые свойства Электроны в кристаллах Примесная проводимость полупроводников

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Среднее значение координат и импульсов.

Операторы физических величин

Выражения (2) и (8),

позволяют сразу же написать среднее значение координат и импульсов. Согласно определению среднего значения случайной величины,

  (10)

Аналогично записывается среднее значение для любой функции .

Вычислим величину

  ,

где

 .

Простые преобразования дают:

После интегрирования по частям и отбрасывания подстановки (на самом деле подстановка исчезает, так как волновая функция, по предположению, обращается в нуль при ) оператор будет действовать на :

.  (11)

Из (11) видно, что импульсу  соответствует величина -:

.

Тогда (11) можно переписать так:

.  (12)

Аналогично получаем соответствие и для других компонент импульса. Значит, импульсу  нужно поставить в соответствие величину :

,

где величина  называется оператором импульса.

Так приходим к выводу о том, что физической величине отвечает оператор этой величины. Это утверждение представляет собой одно из основных положений квантовой механики. При этом под оператором координат понимают сами координаты. Итак, операторы радиуса-вектора и вектора импульса даются формулами:

  .

В классической механике любая физическая величина может быть записана в виде функции от  и :

,  (13) 

где - динамические переменные (напомним, что состояние частицы описывается заданием радиуса-вектора и вектора импульса). Оператор   строится по такому правилу: в соответствующей классической формуле для величины  нужно заменить  и  операторами  и , т.е.

 .

Это правило называется принципом соответствия.

 Согласно общепринятому соглашению, операторы действуют слева направо – на все функции, стоящие справа от него. Например, запись  имеет следующий смысл:

 

В квантовой механике постулируется, что

,  (14)

 где  - оператор, соответствующий величине F. Очевидно, что формула (14) является обобщением формул (10) - (11), определяющих средние значения координат и импульсов.

 Замечание. Приведенные выше выражения для операторов радиуса-вектора и вектора импульса даны в координатном представлении. Согласно первой из формул (10), в импульсном представлении оператор импульса совпадает с самим импульсом, т.е. . Формулу же для оператора радиуса-вектора в импульсном представлении можно получить с помощью второй из формул (10). Для этого волновую функцию  нужно выразить в этой формуле через функцию с помощью равенства (5). В результате, после простых преобразований, получим: .

Пример 5.3. Мощность излучения раскаленной металлической поверхности 0,67кВт. Температура излучающей поверхности 2500 К, ее площадь 10 см2. Какую мощность излучения имела бы эта поверхность, если бы она была абсолютно черной? Найти отношение ε энергетических светимостей этой поверхности и абсолютно черного тела.

Дано:  N׳=0,67 кВт=0,67∙103 Вт,

Т=2500 К,

S=10см2=10∙10-4 м2.

Найти: N, ε.

Решение

Запишем формулу для мощности излучения абсолютно черного тела:

.  (5.3.1)

Здесь RЭ – энергетическая светимость абсолютно черного тела, S – площадь излучающей поверхности.

По закону Стефана-Больцмана:

.  (5.3.2)

Здесь Т – термодинамическая температура, σ – постоянная Стефана – Больцмана.

Подставив (5.3.2) в (5.3.1), получим:

.  (5.3.3)

Подставим в (5.3.3) числовые данные:

.

Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то

.  (5.3.4)

Следовательно:

.  (5.3.5)

Найдем ε как отношение энергетических светимостей:

.  (5.3.6)

Из (5.3.2) и (5.3.3) следует, что:

.  (5.3.7)

А из (5.3.4) и (5.3.5) следует, что:

.  (5.3.8)

С учетом (5.3.7) и (5.3.8) получим выражение для ε:

.  (5.3.9)

Подставим в (5.3.9) числовые данные:

.

Ответ: мощность излучения абсолютно черной поверхности N=2,22 кВт, отношение энергетических светимостей этой поверхности и абсолютно черного тела ε=0,3.


Поляризация диэлектриков