Квантовая гипотеза Планка Волновая функция и измерения Интегралы движения Туннельный эффект Расщепление спектральных линий в магнитном поле Сферические волны Теория столкновений

Квантовая физика Кинематика Ядерная физика

Электронный газ и его некоторые свойства

В приближении свободных электронов электроны рассматриваются как идеальный газ. Металлический образец представляет собой для электронов трехмерную потенциальную яму. Реше­ние уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в такой яме, показывает, что энергия частицы может иметь только дискретные (квантованные) значения. Электроны являются фермионами (их спин равен 1/2); поэтому распределение электронов по энергетическим уровням описывается функцией распределения Ферми-Дирака. При выводе этой формулы (14.12) мы считали уровни энергии невырожденными, т. е. не учитывали возможности того, что данной энергии могут соответствовать несколько различных квантовых состояний частицы. Электроны обладают одной и той же энергией в двух состояниях, различающихся ориентацией спина (т. е. значениями квантового числа ms, которое может быть равно ±1/2). В связи с этим среднее число электронов, находящихся на уровне энергии εi , определяется выражением

(14.42)

Имеющий размерность энергии параметр μ в формуле (14.12) часто обозначают через ε F и называют уровнем Ферми или энергией Ферми, что и было использовано в формуле (14.42). Отметим, что ε F > 0, иначе некоторые числа заполнения обращались бы при Т → 0 К в нуль.

При абсолютном нуле электроны располагаются попарно на самых низких доступных для них уровнях. В соответствии с этим зависимость <ni> от εi имеет вид, показанный на рис. 14.5. Вследствие дискретности уровней горизонтальный участок графика состоит из отдельных точек. Однако уровни расположены столь густо, что изображающие их точки сливаются в непрерывную линию.

Рис. 14.5.

Каждой ячейке фазового пространства соответствуют два состояния электрона, различающиеся направлением спина. Поэтому, как и в случае фотонов, число состояний в тонком энергетическом слое объема ∆τi определяется формулой (см. (14.19))

(14.43)

Импульс электрона связан с его энергией соотношением εi = р2/2m. Отсюда pi = (2mεi)1/2, а pi ∆pi = m ∆εi . Перемножив эти выражения, найдем, что

Произведя в (14.43) такую замену, получим

(14.44)

Введя обозначения

(14.45)

представим формулу (14.44) в виде

(14.46)

При абсолютном нуле заполнены N нижних состоя­ний, где N — число электронов в данном образце металла. Следовательно, сумма чисел Zi, соответствующих энергиям от 0 до εmах, должна быть равна N:

(14.47)

(учли, что при абсолютном нуле εmах = ε F). Приняв во внимание, что ∆εi << εi, можно в формуле (14.47) заменить суммирование интегрированием. Тогда

(14.48)

Подстановка выражения (14.45) для А дает

Отсюда с учетом того, что N/V = п есть концентрация свободных электронов, т. е. их число в единице объема металла, получается для уровня Ферми при абсолютном нуле формула

(14.49)

Оценка дает для ε F(0) примерно 5 эВ в случае характерного значения n = 5∙1028 м-3.

Величина

(14.50)

называется температурой Ферми. Для ε F(0) = 5 эВ температура Ферми равна примерно 60 000 К, т. е. в 200 раз превышает комнатную температуру.

Теперь можно найти среднюю энергию электронов при абсолютном нуле. Для этого нужно умножить число состояний Zi, на энергию εi и просуммировать произведения по соответствующим значениям индекса i. В результате получится суммарная энергия Е свободных электронов, заключенных в объеме V:

Замена суммирования интегрированием дает

(14.51)

Разделив суммарную энергию Е на число электронов N, т. е. взяв отношение выражений (14.51) и (14.48), найдем среднюю энергию свободных электронов при абсолютном нуле:

(14.52)

Теория атома водорода и водородоподобных ионов по Бору.

1.Эксперементальные факты, объясняемые теорией Бора:

а- размер атома водорода r=53 пм

б- энергия ионизации атома водорода Eи = 13,6 эв

Eи – энергия бомбардирующего электрона достаточная для того чтобы при соударении выбить электрон из атома.

Потенциал ионизации Uи – разность потенциалов которую должен пройти бомбардирующий электрон чтобы приобрести энергию достаточную для ионизации атома.

Eи = eUи

в- закономерность линейчатого спектра.

1/λ = R(1/ni2-1/nj2)

2. Радиусы орбит атомов.

{ ke2/r2 = mV2/r классическая модель

mVr = nћ } – квантовая модель

k = 1/4Piε0 n=1,2,3…

момент импульса кратен ћ

kme2 r3/r2 = mV2m r3/r = m2V2 r2

m2V2 r2 = n2ћ2

kme2 r = n2ћ2

rn = n2ћ2/kme2 - закон квантования

n=1 r1= ћ2/kme2 

r1=(1,05*1,05*10-68)/(9*109*9*10-31*2,56*10-38) = 53*10-12 м

[r]=дж2*с2*Ф/м*кг*кл2 = м

Кл/Ф = В*кл = дж

n2=2  r2=4r1

n3=3 r3=9r1

rn=nr1

Фононы. На примере задачи о гармоническом осцилляторе ранее было установлено, что колебательная энергия квантуется. Это приводит к тому, что средняя энергия колебания оказывается отличной от kТ.

Модель Дебая В этой модели, как и в модели Эйнштейна, рассматривается изотропная среда, но учитывается дисперсия упругих волн.

Теплоемкость фононного газа Применив к фононному газу распределение Бозе-Эйнштейна, можно получить выражение для энергии колеба­ний кристаллической решетки, а следовательно, и для теплоемкости кристаллов. Число фононов непостоянно (они могут возникать и исчезать). Поэтому надо взять распределение Бозе-Эйнштейна в виде (14.17). Вычисление энергии кристалла, т. е. энергии фононного газа, аналогично приведенному для фотонного газа.

Температура Ферми для металлов составляет несколько десятков тысяч кельвин. Поэтому даже при температуре, близкой к температуре плавления металла (порядка 103 К), электронный газ в металле является вырожденным. В полупроводниках концентрация свободных электронов оказывается много меньшей, чем в металлах. Соответственно уровень Ферми мал (согласно (14.49) ε F пропорционально n 2/3 ). Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.


Криволинейное движение тела под действием силы тяжести