Определение момента в защемлении статически неопределимой балки
Ц е л ь р а б о т ы: экспериментальное определение момента в защемлении статически неопределимой балки и сравнение его с моментом в защемлении, полученным теоретическим путем.
Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь р а б о т ы. Балки, для которых определение опорных реакций не может быть произведено лишь при помощи уравнений статического равновесия, называют статически неопределимыми. Кроме уравнений равновесия для раскрытия статической неопределимости составляют дополнительные уравнения – условия совместности перемещений.
На рис. 3.20 а, изображена статически неопределимая балка, для которой можно составить только два независимых уравнения статического равновесия:
![]()
. (3.41)
Число же опорных реакций три:
Балка по условиям статического равновесия имеет одну “лишнюю” реактивную составляющую, т. е. один раз статически неопределима. Согласно цели работы принимают в качестве “лишней” реакции -
.
Путем удаления внешних нагрузок
и “лишнего” момента
заданная балка заменяется статически определимой геометрически неизменяемой балкой (рис. 3.20,б), которая называется основной. Затем составляют систему, эквивалентную заданной, путем нагружения основной системы внешними силами
и неизвестным моментом
(рис. 3.20,в). Для обеспечения эквивалентности, используя принцип независимости действия сил, составляют условие совместности перемещений на левой опоре А:
. (3.42)
Рис. 3.20. Расчетные схемы для расрытия статической неопределимости балки
Геометрический смысл этого уравнения заключается в том, что суммарный угол поворота
на левой опоре от приложенных сил
и от неизвестного момента
для заданной балки равен нулю, что соответствует схеме рис. 3.20, а. Такой метод определения “лишней” неизвестной называют методом сравнения перемещений.
Вычисление углов
и
производят способом Верещагина. Для вычисления
используют расчетную схему балки, нагруженной только силами
, (рис. 3.20,г), а для
- только моментом
(рис. 3.20,д). Фиктивная балка, нагруженная единичным моментом
=1, расчетная схема которой представлена на рис. 3.20,е, является общей при вычислениях величин
и
.
О п и с а н и е л а б о р а т о р н о й у с т а н о в к и. Лабораторная установка типа СМ 11А (рис. 3.21) представляет собой балку 2 прямоугольного поперечного сечения, опирающуюся на две опоры: шарнирно-подвижную 1 и шарнирно-неподвижную 5, которые закреплены на основании 4. На опоре 5 к балке жестко прикреплены два рычага 6 и 9. Рычаг 6 вместе с индикатором 7 часового типа ИЧ-10 предназначен для измерения угла поворота балки, возникающего при приложении к ней через гиревые подвесы 3 внешней нагрузки. Описание индикатора ИЧ-10 дано в работе 3.5. Рычаг 9 с подвижным противовесом 8 предназначен для создания момента на опоре, имитирующего момент в защемлении
, путем перемещения противовеса 8 до восстановления балкой ее исходного положения. При этом, зная плечо
и вес
противовеса 8, опытное значение момента в защемлении определяют по формуле:
. (3.43)
Рис. 3.21. Схема лабораторной установки типа СМ 11А
М е т о д и к а п р о в е д е н и я о п ы т а и о б р а б о т к а
р е з у л ь т а т о в: 1. Задают исходные данные опыта: длину балки
, координаты приложения внешних нагрузок
и
, ступень нагружения
. Штангенциркулем измеряют размеры поперечного сечения
и
балки 2 с точностью 0,1 мм. Устанавливают противовес 8 у опоры балки, а стрелку индикатора 7 – на нуль. Исходные данные и отсчет по шкале рычага 9 записывают в журнал наблюдений.
2. Прикладывают к каждому гиревому подвесу 3 нагрузку
и фиксируют показания индикатора 7. Затем перемещением противовеса 8 по рычагу 9 добиваются возвращения стрелки индикатора 7 к нулевой отметке и фиксируют длину уравновешивающего плеча
рычага 9.
Увеличивая нагрузку равными ступенями
, повторяют опыт два – три раза. Все данные заносят в журнал наблюдений и после этого балку разгружают.
Согласно требованиям раздела 4 обрабатывают результаты опыта и по формуле (3.43) определяют опытное значения момента в защемлении
.
3.Используя способ Верещагина, определяют углы поворота сечения
балки от силы
(
), от момента
(
), и по формуле (3.42) вычисляют теоретическое значение момента в защемлении
.
Проводят сравнение полученных результатов.
Содержание отчета
Название лабораторной работы.
Цель работы.
Измерительные приборы.
Расчетные схемы для раскрытия статической неопределимости балки.
Исходные данные.
Пролет балки
. 5.2. Удаление сил от опор
.
Высота поперечного сечения балки
.
Ширина поперечного сечения балки
.
Вес противовеса на уравновешивающем рычаге
.
Осевой момент инерции
. 5.7. Модуль упругости
.
Цена деления индикатора
.
Результаты наблюдений.
№
п/п
Нагрузка
Приращение нагрузки
Показания индикатора
Данные по уравновешивающему рычагу
Отсчет плеча
Приращение отсчета плеча
Средние значения показаний
7. Определение опытного значения момента в защемлении
.
8. Теоретическое определение момента в защемлении
.
9. Сравнение опытных и теоретических значений.
Вопросы для самоконтроля
Какова цель лабораторной работы?
Каково устройство лабораторной установки?
Какие балки называют статически неопределимыми?
Как определяют степень статической неопределимости балки?
В каком порядке производят расчет статически неопределимых балок?
Какими методами решаются статически неопределимые балки?
7. Что представляет собой метод сравнения перемещений, и почему его так называют? Каков его геометрический смысл?
8. Как вычисляют изгибающие моменты и поперечные силы в произвольном сечении статически неопределимой балки?
9. Как обеспечивается условие защемления балки в лабораторной установке?
10. Для чего применяют в лабораторной работе индикатор часового типа?
11. Как определяют опытным путем момент в защемлении статически неопределимой балки?
12. Как изменится величина неизвестного момента в защемлении, если балку повернуть на 90° вокруг продольной оси?
13. Что такое основная система?
14. Что такое эквивалентная система?
15. Как изменится величина неизвестного момента в защемлении, если увеличить (уменьшить) размеры поперечного сечения балки?
Определение напряжений и деформаций при кручении
Выведем формулу для определения касательных напряжений
и найдем зависимость между углом закручивания и внутренним крутящим моментом. Данная задача применительно к валам круглого сечения может быть решена с помощью элементарного математического аппарата, если ввести соответствующие
гипотезы, которые достаточно хорошо подтверждаются экспериментами.
Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:
1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими, и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);
2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и тот же угол , то есть каждое сечение поворачивается относительно оси z как жесткий тонкий диск;
3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.
Поскольку крутящий момент Мz — единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения (на основе интегральных уравнений равновесия).
В сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии
от продольной оси (ось ) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения
, которые создадут элементарный крутящий момент dM, относительно оси z:
, (5.1)
Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как
, (5.2)
где
- касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA, расположенной на произвольном расстоянии (радиусе)
от центра сечения.