Курсовые и лабораторные по сопромату Подвижный шарнир Балочные системы Пространственная система сил Основные понятия кинематики Растяжение и сжатие Деформации при кручении Сопротивление усталости

Курсовые и лабораторные по сопромату, теоретической механике, машиностроительному черчению

Определение напряжений при внецентренном растяжении бруса

  Ц е л ь р а б о т ы: Определить опытным путем нормальные напряжения в крайних волокнах поперечного сечения бруса при внецентренном растяжении и сравнить их с напряжениями, вычисленными теоретически.

Т е о р е ти ч е с к а я ч а с т ь р а б о т ы. Внецентренным растяжением называют такой вид деформации, при котором внешние продольные силы приложены с некоторым эксцентриситетом  относительно центра тяжести поперечного сечения бруса (рис. 3.7).

 

 Рис. 3.7. Схема для определения Рис. 3.8. Схема плоского

 внутренних силовых факторов внецентренного растяжения

Электротехника примеры расчета цепей и лабораторные работы. http://mirkasflur.ru/ Математика решение задач

 На основании принципа независимости действия сил нормальные напряжения в любой произвольной точке  поперечного сечения бруса (рис. 3.7), имеющей координаты и  будут складываться из напряжений от продольной силы  и напряжений от чистого изгиба моментами  и :

или

  . (3.19)

 Для сечения в виде прямоугольника напряжения в крайних волокнах можно рассчитать по формуле:

 . (3.20)

При этом знаки в формуле выбирают на основании анализа расчетной схемы. Если в брусе прямоугольного поперечного сечения (рис. 3.8) точка приложения растягивающей силы  будет находиться на одной из главных осей поперечного сечения, например, на оси , то напряжения в крайних волокнах (в точках  и ) на основании (3.20) от продольной силы  будут одинаковы, т. е.

 . (3.21)

 От изгибающего момента в точке  возникают растягивающие напряжения, а в точке   - сжимающие. Тогда получают

   (3.22)

где .

 Суммарные напряжения в точках  и  с учетом формул (3.21) и (3.22) будут равны

 . (3.23)

 В итоге получают: наибольшие напряжения возникают, как и при изгибе, в наиболее удаленных от нейтральной оси точках. На рис. 3.8, а, показана эпюра напряжений от растяжения, на рис. 3.8, б – от изгиба, а на рис. 3.8, в – суммарная эпюра напряжений.

Наибольшую нагрузку , которую можно приложить к образцу, определяют из (3.24), учитывающую, что максимальные напряжения не должны вызывать пластических деформаций, т. е. . Тогда с учетом формулы (3.23) получают

 . (3.24)

Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной  осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сече­нии балки найдем из рассмотрения напряжений из элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении А балки в точке с координатами у и x (ось y для удобства анализа направлена вниз):

, следовательно , поэтому

; (6.10)

, следовательно , поэтому

  ; (6.11)

, следовательно , поэтому

;  (6.12)

Рис.38. Напряжения при чистом изгибе

 
Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряже-ний по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dz, выделенного из изги­баемого стержня в произвольной точке с координатой z. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (н.о.) на угол  , при этом волокно ab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину.

 


Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации: a0b0=dx.

Найдем относительную линейную деформацию , волокна ab изогнутой бал­ки: , следовательно

  (6.13)

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:

  (6.14)

Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормаль­ных напряжений по сечению балки:

.  (6.15)

Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотно­шения:

, следовательно , отсюда

;  (6.16)

, следовательно , отсюда

 ; (6.17)

, следовательно , отсюда

.  (6.18)

Из анализа первого и второго полученных выражений следует, что оси у и х являются главными центральными осями сечения, а нейтральная ось прохо­дит через центр тяжести сечения.

Из последнего равенства получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе

, (6.19)

Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

  (6.20)

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экс­тремальных значений на поверхности балки, при .

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

,  (6.21)

 где Wz - осевой момент сопротивления

  (6.22)

Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениям может быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):

 (6.23)


Общие сведения о подшибниках качения