Курсовые и лабораторные по сопромату Подвижный шарнир Балочные системы Пространственная система сил Основные понятия кинематики Растяжение и сжатие Деформации при кручении Сопротивление усталости

Курсовые и лабораторные по сопромату, теоретической механике, машиностроительному черчению

Лабораторная работа

Изучение законы движения центра масс механической системы

Цель и содержание работы

Целью работы является ознакомление с понятием центра масс системы материальных точек и с его важнейшими свойствами. Содержание работы состоит в определении перемещения и ускорения центра масс незамкнутой системы из двух материальных точек при помощи машины Атвуда.

II. Краткая теория работы

Центром масс (центром инерции) системы, состоящей из  материальных точек, называется точка , положение которой относительно произвольной системы отсчета  (рис. 1) определяется радиус-вектором

  , (1)

  (2)

или координатами , где  – масса, радиус-век-тор и координаты частицы (1, 2, 3…, ),  – масса всей системы.

Скорость и ускорение центра масс определяются соотношениями

  (3)

 , (4)

где   – соответственно скорость, импульс и ускорение -й частицы.

Рис. 1

Согласно законам динамики, центр масс системы материальных точек движется так, как двигалась бы материальная точка, обладающая массой всей системы, если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на различные точки системы. Этот закон движения центра масс может быть записан как

  (5)

где   – результирующая всех внешних сил, действующих на различные точки системы.

Цель настоящей работы – экспериментальная проверка закона движения центра масс при помощи машины Атвуда (рис. 2). Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги (1), на верхнем конце которой имеется легкий алюминиевый блок (2), вращающийся с малым трением. Через блок перекинута тонкая нить с прикрепленными грузами (3) одинаковой массы. Если на один из грузов положить небольшой перегрузок, то они придут в движение с постоянным ускорением.

Рассмотрим движение системы, состоящей из грузов массой и  блока радиусом  с моментом инерции . На каждый груз будут действовать две силы – сила тяжести и натяжение нити (рис. 3). В этом случае, рассматривая грузы как систему из двух материальных точек, запишем закон движения центра масс (силами трения пренебрегаем):

или в проекции на ось :

  (6)

Для нахождения сил натяжения  и  нужно использовать уравнения движения каждого груза в отдельности и уравнение вращательного движения блока. В результате получим следующую систему уравнений для определения ускорения центра масс  (предполагаем, что , а нить нерастяжима и невесома):

   (7)

где ,  – масса и угловое ускорение блока соответственно;  – модуль вектора ускорения грузов; такую же величину тангенциального ускорения имеют точки на ободе блока (нить не скользит по поверхности блока).

Рис. 2

Решая систему (7), получаем следующие выражения для величины ускорения груза

  (8)

и ускорения центра масс

  (9)

Рис. 3

Из формул (8) и (9) можно определить связь между  и :

.

Эту формулу можно также получить из (4).

Расчет по формулам (8) и (9) величин  и  дает несколько завышенные значения, так как при выводе этих формул не учитывались силы трения на оси блока и сопротивление воздуха при движении грузов. Вносимая при этом систематическая относительная погрешность составляет около 10%.

Так как силы, действующие на грузы, постоянны, то как грузы, так и центр их масс должны совершать равноускоренное движение. Зависимость величин перемещений от времени при нулевой начальной скорости выражается следующим образом:

   (10)

Центр масс рассматриваемой системы движется вдоль оси  в сторону большего груза . Пунктирная линия  на рис. 3 – траектория центра масс.

Вследствие нерастяжимости нити перемещения грузов равны по модулю и противоположны по направлению:

.

Тогда, согласно (10), получим

  . (11)

Чтобы определить ускорение центра масс, нужно построить гра-фик зависимости   от , который, согласно (10), должен быть прямой линией (рис. 4), с угловым коэффициентом .

Тогда

  (12)

Рис. 4

III. Приборы и принадлежности, необходимые для выполнения работы

1. Машина Атвуда. Ее устройство показано на рис. 2. Масса блока  г. Блок вращается с малым трением вокруг горизонтальной оси, укрепленной в верхней части стойки. Стойка снабжена вертикальной шкалой с ценой деления 1 см. Через блок перекинута тонкая нить, на концах которой висят грузы с одинаковыми массами  г. Если на правый груз положить дополнительный груз (перегрузок), масса которого  г, то система будет двигаться равноускоренно. Перегрузок имеет малую по сравнению с грузом массу. В этом случае и ускорение системы будет невелико, что облегчает проводимые измерения.

2. Цифровой секундомер, соединенный с пусковым устройством. К стойке прикреплена горизонтальная полочка П, в которой смонтировано устройство, выключающее секундомер.

3. Источник постоянного напряжения для питания электромагнита.

IV. Порядок выполнения работы

1. Включить в сеть секундомер и источник постоянного напряжения.

2. Тумблер на пусковом устройстве привести в положение “пуск”. Установить груз с перегрузком напротив метки “0” на вертикальной шкале машины Атвуда. Перевести тумблер пускового устройства в “начальное положение”. При этом включается электромагнит, удерживающий груз в выбранном положении.

3. Нажать кнопку “сброс” на секундомере.

4. Для приведения системы в движение тумблер на пусковом устройстве переводится в положение “пуск”. При этом размыкается цепь электромагнита и одновременно автоматически включается секундомер. Ударяясь о полочку П, груз выключает секундомер. По шкале секундомера отсчитать время движения груза. Показания секундомера занести в таблицу. Расстояние между грузом с перегрузком и полочкой П определяет величину перемещения груза.

5. Измерение времени для каждого положения груза (см. таблицу) повторить 3 раза, следуя пунктам 2-4.

Таблица

№ п/п

Расстояние между грузом и полочкой П (см)

Отсчет по шкале секундомера

  (c)

, (с)

, (с2)

Перемещение центра масс (см)

1

1

80

2

3

1

2

75

2

3

1

3

70

2

3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

14

15

2

3

V. Обработка результатов измерений

1. Получить ориентировочное значение по формуле (9).

2. Построить график зависимости  от , предварительно заполнив правую часть таблицы.

3. При помощи полученного графика определить значение  (см. (12)) и сравнить его с результатами расчета по формуле (9).

4. Оценить погрешности для одного измерения  (данные для расчета взять из 5-го пункта таблицы) по следующей схеме:

1. Исходная формула:

(см. (10) и (11)), здесь

2.

 ,

где

 

 

 

 

3.

 

VI. Контрольные вопросы

Дайте определение центра масс системы материальных точек.

Напишите формулы, определяющие координаты, скорость и ускорение центра масс в общем случае.

Напишите формулы, определяющие координаты, скорость и ускорение центра масс, применительно к системе двух грузов, рассматриваемой в данной работе.

Является ли данная система двух грузов замкнутой?

Как движется центр масс замкнутой системы?

Какова траектория центра масс в данной работе?

Часто с центром масс связывают систему отсчета (Ц-система). Будет ли Ц-система в данной работе инерциальной?

Определите силы натяжения  и  (рис. 3) для двух условий:

а) массой блока можно пренебречь,

б) массу блока, равномерно распределенную по диску, необходимо учитывать,

в) как изменится натяжение, если массу блока распределить тонким слоем по его ободу?

Рассмотрите систему из двух материальных точек: груз массы  неподвижно закреплен, груз массы   свободно падает с некоторой высоты. С каким ускорением движется их центр масс? Определите ускорение грузов в Ц-системе.

Рассмотрите систему из трех материальных точек: двух грузов и блока (рис. 3), считая, что масса блока сосредоточена в его геометрическом центре. Напишите формулы для координаты, скорости и ускорения центра масс этой системы, сравните их с соответствующими формулами пункта 3.

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики, T. 1, 1982, §§3, 4, 9.

Стрелков С.П. Механика, 1975, §§55, 56.

Проектировочный расчет на прочность плоской рамы.

3.4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Исходные данные для расчета плоской рамы представлены на рис. 3.8. Расчетная схема плоской рамы также представлена на рис. 3.8.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три произвольных сечения на участках АВ, ВC, СD (рис. 3.8)

На участке CD (0 ≤ z1 ≤ l1 = 0,5 м) (рис.3.8, а)

На участке ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м) (рис. 3.8, б)

  33

 

На участке АВ (0 ≤ z3 ≤ 2l1 =1 м) (рис. 3.8, в)  

По полученным значениям построим эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающего момента. (рис. 3.9)

 


Общие сведения о подшибниках качения