Курсовые и лабораторные по сопромату Расчет стержневой системы Геометрические характеристики сечений Пример расчета трехопорной рамы Зубчатые механизмы Достоинства косозубых передач Техническая механика

Курсовые и лабораторные по сопромату, теоретической механике, машиностроительному черчению

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Уметь рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.

Формулы для расчета эквивалентных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений

.

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения

.

где τ = MK / WP — расчетное касательное напряжение;

σ = MK / WX - расчетное нормальное напряжение.

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения

,

где Мэкв — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений

.

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

.

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.


Контрольные вопросы и задания

1. Какое напряженное состояние возникает в поперечном сечении вала при совместном действии изгиба и кручения?

2. Напишите условие прочности для расчета вала.

3. Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и гипотезе энергии формоизменения.

4. Как выбирается опасное сечение при расчете вала?


Тема 2.10. Устойчивость сжатых стержней.

Основные положения

Иметь представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.

Знать условие устойчивости сжатых стержней, формулу Эйлера и эмпирические формулы для расчета критической силы и критического напряжения.

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под действием осевых сжимающих сил изгибаются и теряют равновесие. Такие стержни работают на изгиб и сжатие.

Рис.

Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму (рис. 36.1).

Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.

Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.

На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы.

Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

; ; ,

где F — действующая сжимающая сила;

[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;

Fкр — критическая сила;

[sy] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Обычно для сталей [sy] = l,8 ÷ 3; для чугуна [sy] = 5; для дерева [Sy] ≈ 2,8.

Способы определения критической силы

Расчет по формуле Эйлера

Задачу определения критической силы математически решил Л. Эйлер в 1744 г.

Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

,

где Е – модуль упругости;

Jmin – минимальный осевой момент инерции стержня;

l – длина стержня.

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых моментов инерции сечения (Jx или Jy).

Формулу распространили на другие формы закрепления стержней, рассмотрев форму потери устойчивости в каждом случае.

Рис.

Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: lприв = μд, где μ — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 36.3).

Формула для расчета критической силы для всех случаев

.

Рис.

Критические напряжения.

Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе.

Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

,

где σкр — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции imin:

; .

Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде

.

Отношение μl /imin носит название гибкости стержня λ.

Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гибкость, тем меньше напряжение:

Заметим, что гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.

Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала.

Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности. Таким образом, σкр ≤ σу ≈ σпц, где σу — предел упругости; σпц — предел пропорциональности материала;

. Откуда гибкость стержня: ;

 - предельная гибкость.

Предельная гибкость зависит от материала стержня.

В случае, если λ < λпред в материале стержня возникают остаточные деформации. Поскольку в реальных конструкциях могут возникать пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности, созданы эмпирические формулы для расчетов в этих случаях.

Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней

Таблица 36.1

Материал

σ, МПа

b, МПа

λ0

λпред

Сталь Ст2

Сталь Ст3

Сталь 20, Ст4

Сталь 45

Дюралюмин Д16Т

Сосна, ель

264

310

328

449

406

29,3

0,70

1,14

1,15

1,67

1,83

0,194

60

60

60

52

30

-

105

100

96

85

53

70

Критическое напряжение определяется по формуле σкр = а — bλ. где а и b — коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряжения от гибкости стержня.

Рис.

Для стержней малой гибкости проводится расчет на сжатие σсж≤[σ]сж. Для стержней средней гибкости расчет проводят по формуле Ясинского σкр = а — bλ.

Для стержней большой гибкости расчет проводят по формуле Эйлера σкр = π2Е / λ2.

Критическую силу при расчете критического напряжения по формуле

Ясинского можно определить как

.

Условие устойчивости: .


Контрольные вопросы и задания

1. Какое равновесие называется устойчивым?

2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критической?

4. Напишите формулу Эйлера для расчета критической силы и назовите входящие величины и их единицы измерения.

5. Что называют гибкостью стержня, какой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гибкости.

6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?

8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость? Напишите условие устойчивости. Чем отличается допускаемая сжимающая сила от критической?

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ.

2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.

Для ступенчатого стержня, представленного на рис 2.1, необходимо построить эпюру крутящих моментов, эпюру условных касательных напряжений как функцию параметра сечения d, из условия прочности найти искомое значение d, в расчетах использовать материал, представленный кривой деформирования.

2.1.1. Построение эпюры крутящих моментов.

Направим вдоль оси стержня ось z (рис 2.2,а). Запишем условие равновесия стержня AD в виде:

 

 

Из условия равновесия

находим значение Т4:

Для определения внутренних

силовых факторов, воспользуемся

методом сечений.

Разобьем стержень на три участка АВ, ВС, СD, проведем на каждом из них произвольные сечения и зададим координаты этих сечений z1, z2, z3.

Рассмотрим участок АВ (0 ≤ z1 ≤ l1 = 0,5 м)

Рассмотрим участок ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м)

Рассмотрим участок СD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)

Рассчитаем значение крутящего момента в точках С и D. В точке С:

В точке D:

По полученным данным построим эпюру крутящих моментов (рис 2.2).


Разборка редуктора и ознакомление с конструкцией и назначением отдельных узлов