Курсовые и лабораторные по сопромату Расчет стержневой системы Геометрические характеристики сечений Пример расчета трехопорной рамы Зубчатые механизмы Достоинства косозубых передач Техническая механика

Курсовые и лабораторные по сопромату, теоретической механике, машиностроительному черчению

Изгиб.

Нормальные напряжения при изгибе.

Расчеты на прочность

Знать распределение нормальных напряжений по сечению балки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а).

Рис.

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные напряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса р (рис. 32.16). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.16). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется

слой, в котором нормальные напряжения о равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; р — радиус кривизны нейтрального слоя.

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до деформации равна длине нейтральной оси:

.

Абсолютное удлинение слоя  (рис. 32.1б).

Рис.

Относительное удлинение ; .

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе

от положения слоя:

.

Формула для расчета нормальных напряжений

при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная продольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя.

dN = σи dA; dm = σи ydA.

Рис.

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

.

 - осевой момент инерции сечения.

Таким образом,  .

Откуда Е / р = Mn / Jx. Ранее получено .

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

,

где Jx — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изображена на рис. 32.3.

Рис.

По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = уmax.

Получим .

Отношение  принято обозначать Wx :

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность — мм3.

Wx характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.

Напряжение на поверхности .

Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4) равен .

Осевой момент сопротивления  прямоугольника

.

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).

Рис.

Рис.

Вариант на рис. 32.56 обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен .

Осевой момент сопротивления круга .

Рис.

Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инерции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг которой совершается изгиб (рис. 32.7).

Пример

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой площади: двутавра (рис. 32.7г) и круга (рис. 32.7а).

Двутавр № 10 имеет площадь 12 см2, осевой момент инерции 198 см4, момент сопротивления 39,7 см3.

Круг той же площади имеет диаметр , осевой момент инерции Jx = 25,12 см4, момент сопротивления Wx = 6,2 см3.

.

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямоугольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).

Рис.

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяжении и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметричные сечения тавр, рельс и др.

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

,

где [σи] — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).

Рис.

При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки [Ми] = Wp[σ].

Примеры решения задач

Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32.9), материал - сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе [σр] = [σс] = 160 МПа.

Решение

1. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.

Проводим расчеты по характерным точкам. Размеры сечения подбираем из расчета по нормальным напряжениям. Эпюру поперечных сил строить необязательно.

Определяем моменты в характерных точках.

Рис.

; ; .

В точке С приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом m.

; . Момент положительный.

; .

Момент в заделке ;

.

Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значению изгибающего момента.

Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности

; ;

; Wx = 500 см3.

Основываясь на значении Wx = 500 см3 по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Wx = 518 см3; площадь сечения А = 49,9 см3.

Рис.

Для сравнения рассчитываем размеры балки квадратного сечения (рис. 32.10) при том же моменте сопротивления сечения.

; b = h; .

.

Сторона квадрата . Площадь сечения балки .

.

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.


Контрольные вопросы и задания

1. Напишите формулу для определения нормального напряжения при изгибе в любой точке поперечного сечения.

2. Нормальное напряжение в точке В поперечного сечения 120МПа. Определите напряжение в точке С (рис. 32.11).

Рис.

3. В каком случае (рис. 32.12) балка выдержит большую нагрузку?

Рис.

Напишите формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для прямоугольника. Что характеризуют эти величины? Укажите единицы измерения этих величин.

Напишите условие прочности при изгибе.

Определите изгибающий момент в точке В (рис. 32.13), используя метод характерных точек.

Рис.

7. Подберите размеры поперечного сечения балки в виде швеллера. Максимальный изгибающий момент 15кН-м; допускаемое напряжение материала балки 160 МПа.


Тема 2.7. Сочетание основных деформаций.

Гипотезы прочности

Иметь представление о напряженном состоянии в точке упругого тела, о теории предельных напряженных состояний, об эквивалентном напряженном состоянии, о гипотезах прочности.

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда (рис. 34.1).

Положения теории напряженного состояния:

Напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам.

Среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них, называются главными напряжениями: σ1 , σ2 , σ3 (рис. 34.1).

Одно из этих напряжений — максимально, одно — минимально. Максимальное обозначают σ1, минимальное — σ3.

Классификация видов напряженного состояния производится по главным напряжениям:

если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называют объемным (трехосным) (рис. 34.1а);

если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским (двухосным) (рис. 34.16);

если два из главных напряжений (σ2 = 0) противоположны по знаку, напряженное состояние называют упрощенным плоским состоянием;

— если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние линейное (рис. 34.1в).

Рис.

Понятие о сложном деформированном состоянии

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.

Сложное деформированное состояние возникает, если деталь одновременно подвергается нескольким простейшим нагружениям.

Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скручивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг).

Часто одним из нагружений (незначительным) пренебрегают.

Например, длинные балки рассчитывают только на изгиб.

В ряде случаев нормальные и касательные напряжения, возникающие в детали, имеют одинаковый порядок и ими нельзя пренебрегать. Тогда расчет проводят при сложном деформированном состоянии.

Сложность расчета заключается в отсутствии экспериментальных данных о предельных напряжениях, т. к. провести испытания из-за множества вариантов нагружения практически невозможно.

Для упрощения расчетов в этом случае применяют теории прочности. Смысл теорий заключается в замене реального сложного деформированного состояния равноопасным простым.

Опасное состояние может быть вызвано различными факторами: нормальные напряжения могут достигнуть предела текучести

или предела прочности, касательные напряжения могут достигнуть опасного значения или накопленная энергия деформирования может стать слишком большой и вызвать разрушение.

Универсального критерия, позволяющего рассчитать предельное состояние для любого материала, нет. Разработано несколько различных гипотез предельных состояний, при расчетах используют наиболее подходящую гипотезу. Расчеты по гипотезам прочности позволяют избегать дорогостоящих испытаний конструкции.

В настоящее время для расчета валов при совместном действии изгиба и кручения используют только третью и пятую теории прочности.

Сравнение разнотипных состояний производится с помощью эквивалентного (простого) напряженного состояния. Обычно сложное напряженное состояние заменяют простым растяжением (рис. 34.2).

Расчетное напряжение, соответствующее выбранному одноосному растяжению, называют эквивалентным напряжением (рис. 34.26).

Рис.

Полученное расчетным путем эквивалентное напряжение для точки сравнивают с предельным (рис. 34.2в).

Напряженное состояние в точке равноопасно эквивалентному напряженному состоянию. Условие прочности получим, сопоставив эквивалентное напряжение с предельным, полученным экспериментально для выбранного материала: , где [s] - допускаемый запас прочности.

Как известно, предельным напряжением для пластичных материалов является предел текучести σт, а для хрупкого — предел прочности σв. Предельное напряженное состояние у пластичных материалов наступает в результате пластических деформаций, а у хрупких — в результате разрушения.

Для пластичных материалов расчет может выполняться по гипотезе максимальных касательных напряжений: два напряженных состояния равноопасны, если максимальные касательные напряжения у них одинаковы (третья теория прочности).

Расчет можно проводить и по теории потенциальной энергии формоизменения: два напряженных состояния равноопасны, если энергия формоизменения у них одинакова (пятая теорема прочности).

Для хрупких и хрупко-пластичных материалов применяют теорию прочности Мора.

Расчет эквивалентного напряжения для точки по теории максимальных касательных напряжений выполняется по формуле

,

а по теории энергии формоизменения по формуле

,

где σ — действующее в точке нормальное напряжение; т — действующее в точке касательное напряжение.

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением

В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории прочности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным простым.

Рис.

Максимальное напряжение кручения в сечении .

Максимальное напряжение изгиба в сечении .

По одной из теорий прочности в зависимости от материала бруса рассчитывают эквивалентное напряжение для опасного сечения и проверяют брус на прочность, используя допускаемое напряжение изгиба для материала бруса.

Для круглого бруса моменты сопротивления сечения следующие:

при кручении ;

при изгибе .

При расчете по третьей теории прочности, теории максимальных касательных напряжений, эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле 

.

Теория применима для пластичных материалов. При расчете по теории энергии формоизменения эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле

.

Теория применима для пластичных и хрупких материалов. Эквивалентное напряжение при расчете по теории максимальных касательных напряжений:

,

где Мэкв III =  эквивалентный момент.

Условие прочности:

.

Эквивалентное напряжение при расчете по теории энергии формоизменения:

где Мэкв V =  - эквивалентный момент.

Условие прочности:

.


Контрольные вопросы и задания

1. Чем характеризуется и как изображается напряженное состояние в точке?

2. Какие площадки и какие напряжения называют главными?

3. Перечислите виды напряженных состояний.

4. Чем характеризуется деформированное состояние в точке?

5. В каких случаях возникают предельные напряженные состояния у пластичных и хрупких материалов?

6. Что такое эквивалентное напряжение?

7. Поясните назначение теорий прочности.

8. Напишите формулы для расчета эквивалентных напряжений
при расчетах по теории максимальных касательных напряжений и
теории энергии формоизменения. Поясните, как ими пользоваться.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Артоболевский И. И. Сборник задач по теории механизмов и машин / И. И. Артоболевский, В. В. Эдельштейн. – М. : Наука, 1973 и все последующие издания.

2. Будник Ф. Г. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для студентов втузов / Ф. Г. Будник, Ю. М. Зингерман, Е. И. Селенский ; под ред. А. С. Кельзона. – М. : Высш. шк., 1987. – 176 с.

3. Ицкович Г. М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов : учеб. пособие для высших технических учебных заведений / Г. М. Ицкович, А. И. Винокуров, Л. С. Минин; под общ. ред. Г. М. Ицковича. – М. : Высш. шк., 1970. – 544 с.

4. Ицкович Г. М. Сопротивление материалов / Г. М. Ицкович. – М. : Высш. шк., 1998. – 368 с.

5. Кожевников С. Н. Теория механизмов и машин / С. Н. Кожевников. – М. : Машиностроение, 1969 и все последующие издания.

6. Копнов В. А. Сопротивление материалов : руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В. А. Копнов, С. Н. Кривошапко. – М. : Высш. шк., 2003. – 349 с.

7. Кочетов В. Т. Сопротивление материалов / В. Т. Кочетов, А. Д. Пав­ленко, М. В. Кочетов. – Ростов н/Д : Феникс, 2001. – 366 с.

8. Машков А. А. Теория механизмов и машин / А. А. Машков. – Минск : Вышэйш. шк., 1971. – 472 с.

9. Машнев М. М. Теория механизмов и машин / М. М. Машнев, Е. Я. Красковский, П. А. Лебедь. – М. : Высш. шк., 1962 и все последующие издания.

10. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. В. К. Ка­чурина. – М. : Наука, 1972. – 432 с.

11. Степин П. А. Сопротивление материалов : учеб. для немашино­строительных спец. вузов / П. А. Степин. – 9-е изд. – М. : Интеграл-пресс, 1997. – 320 с.

12. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. – М. : Наука, 1972 и последующие издания.

13. Файн A. M. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для техникумов / А. М. Файн. – М. : Высш. шк., 1978. – 189 с.

14. Юденич В. В. Лабораторные работы по теории механизмов и машин : учеб. пособие для втузов / В. В. Юденич. – М. : Высш. шк., 1962. – 288 с.

15. Яблонский А. А. Курс теоретической механики / А. А. Яблонский, В. И. Никифоров. – М. : Высш. шк., 1962 и последующие издания.

16. Яблонский А. А. Курс теоретической механики/ А. А. Яблонский, В. И. Никифоров. Ч. II. – М.: Высш. шк., 1962 и последующие издания.

Дополнительная

17. Абрамов Б. М. Типовые задачи по теории механизмов и машин / Б. М. Абрамов. – Харьков : Выща шк., 1976. – 208 с.

18. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артобо­левский. – М. : Наука, 1975 и все последующие издания.

19. Аркуша А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике / А. И. Аркуша. – М. : Высш. шк., 1971. – 296 с.

20. Бать М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1972.

21. Бородин Н. А. Сопротивление материалов : учеб. пособие для студентов образоват. учреждений сред. проф. образования, обучающихся по спец. технического профиля / Н. А. Бородин. – 2-е изд., испр. – М. : Дрофа, 2001. – 285 с. – (Среднее профессиональное образование).

22. Грифцов Н. П. Кинематика точки и твердого тела : учеб. пособие / Н. П. Грифцов. – Ульяновск, 1977.

23. Дарков А. В. Сопротивление материалов : учеб. для технических вузов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – 5-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1989. – 622 с.

24. Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов : краткий учеб. / Р. С. Кинасошвили ; под ред. А. С. Вольмира. – 10-е изд. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. – 384 с.

25. Колчин Н. М. Теория механизмов и машин / Н. М. Колчин. – Л. : Судостроение, 1965.

26. Мисюрев М. А. Методика решения задач по теоретической механике / М. А. Мисюерв. – М. : Высш. шк., 1962. – 307 с.

27. Осадчий В. А. Руководство к решению задач по теоретической механике / В. А. Осадчий, A. M. Файн. – М. : Высш. шк., 1972. – 256 с.

28. Партенский В. М. Рычажные механизмы. Кинематические исследо­вания и синтез / В. М. Партенский. – М. : Машиностроение, 1964. – 180 с.

29. Семенов М. В. Плоские четырехзвенные шарнирные механизмы / М. В. Семенов. – М. : Физматгиз, 1959. – 132 с.


Разборка редуктора и ознакомление с конструкцией и назначением отдельных узлов