Курсовые и лабораторные по сопромату Расчет стержневой системы Геометрические характеристики сечений Пример расчета трехопорной рамы Зубчатые механизмы Достоинства косозубых передач Техническая механика

Курсовые и лабораторные по сопромату, теоретической механике, машиностроительному черчению

Пространственная система сил

Знать момент силы относительно оси, свойства момента, аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.

Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси, определять момент силы относительно оси.

Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1а).

МОО (F) = пр Fа ,

где а — расстояние от оси до проекции F; Деформации и перемещения при кручении валов Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

пр F — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 00.

пр F = F cos a; Mqo (F) = F cos α · a

.

Рис.

Момент считаем положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке. Смотреть со стороны положительного направления оси.

Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю (рис. 7.16).

Силы и ось лежат в одной плоскости, они не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

F1 пересекает ось; МОО (F1) = 0;

F2 || ОО; пр F2 = 0; МОО (F2) = 0.

Пространственная сходящаяся система сил

Вектор в пространстве

В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2).

Модуль вектора может быть получен из зависимости

где Fx = F cos αx;

 Fн = F cos αн;

Fя = F cos αя,

aч, aн, aя, — углы между вектором F и осями координат.

Рис.

Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник (рис. 7.3),

FΣ = F1 + F2 + F3 + … + Fn.

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил можно определить аналитически, использовав метод проекций.

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:

.

Рис.

Рис.

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле

.

Направление вектора равнодействующей определяется углами

αч = (FΣ ^ F Σx); αy = (FΣ ^ F Σy);  αz = (FΣ ^ F Σz),

где .

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О

Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) Fгл (рис. 7.56).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы Мгл (главный момент).

Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Рис.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.56) равно

,

где

Абсолютное значение главного момента определяется по формуле .

,

где .

Уравнение равновесия пространственной системы сил

При равновесии Fгл = 0; Мгл = 0.

Получаем шесть уравнений равновесия:

;

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил соответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.


Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил.

2. Запишите формулу для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для определения реакции стержня R1 (рис. 7.8)?

Рис.

1.  2.

3.  4.

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения – начало координат. Координатные оси совпадают с ребрами куба, ребро куба равно 20 см; F1 = 20 кН; F2 = 30 кН.

Рис.

Рис.

7. Определите реакцию ХВ (рис. 7.10). Вертикальная ось со шкивом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F1 и F2 параллельны оси Ох. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F1 = 2 кН; F2 = 3,5 кН.

Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу' в точке А.


Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Сила тяжести

Рис.

Сила тяоюести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Точка приложения силы тяжести

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодействующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о моменте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно этой оси.

Изображаем тело, составленное из некоторых частей, в пространственной системе координат (рис. 8.2).

Тело состоит из частей, силы тяжести которых qk приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.

Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре С.

xC , yC и zC — координаты центра тяжести С.

xk , yk и zk — координаты центров тяжести частей тела.

Из теоремы Вариота следует:

;

;

Аналогично для оси Оz:

.

В однородном теле сила тяжести пропорциональна объему V:

G = γV;

где γ – вес единицы объема.

Следовательно, в формулах для однородных тел:

;

;

,

где Vk – объем элемента тела;

V – объем всего тела.

Рис.

Центр тяжести однородных плоских тел

(плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

,

где Ак — площадь части сечения; хк, ук — координаты ЦТ частей сечения.

Выражение  называют статическим моментом площади (Sy.).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

.

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести

плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Рис.

При решении задач используются следующие методы:

метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.


Контрольные вопросы и задания

Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки
тела, можно принять за систему параллельных сил?

Запишите формулы для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

Повторите формулы для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.

Что называют статическим моментом площади?

Вычислите статический момент данной фигуры относительно
оси Ox. h = 30см; b = 120см; с = 10см (рис. 8.6).

Рис.

Рис.

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фигуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7.  Определите координату у фигуры 1 составного сечения рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатаная» (см. Приложение 1).

Рис.

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб – это такой вид деформации, когда силы, действующие на брус, лежат в плоскости симметрии поперечного сечения и перпендикулярны оси бруса (сосредоточенные силы, равномерно распространенная нагрузка, сосредоточенный момент).

Рис. 32

Проведем в балке сечение I–I, отбросим правую часть и заменим ее действие на левую внутренними силами Q и М (рис. 32).

Рис. 33

Результирующий момент внутренних растягивающих и сжимающих сил в поперечном сечении балки называется изгибающим моментом в данном сечении М.

Q – результирующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки называется поперечной силой в данном сечении.

Итак, в поперечном сечении балки при изгибе возникает два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент.

Изгибающий момент в поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, взятых относительно рассматриваемого сечения балки. При определении знака изгибающего момента используется следующее правило. Изгибающий момент положителен, если под действием внешней силы балка изгибается выпуклостью вниз (полная чаша); отрицателен, если выпуклостью вверх (опрокинутая чаша) (рис. 34, 35).

Рис. 34

Рис. 35


Разборка редуктора и ознакомление с конструкцией и назначением отдельных узлов