Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Если этой координатной плоскостью является плоскость хОу, то цилиндрические координаты r, φ, z связаны с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями

где

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке.

Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Если область V ограничена сферой или частью сферы, тройной интеграл вычислить проще переходом к сферическим координатам. Точка М в сферических координатах однозначно определяются величинами ρ, φ, θ. Здесь ρ- расстояние ОМ до точки из начала координат; φ- угол между проекцией ОМ на плоскость хОу и

осью Ох; θ - угол между положительным направлением оси Oz и лучом ОМ. Связь между прямоугольными декартовыми координатами х, у, z точки М и её

сферическими координатами ρ, φ, θ определяется соотношениями

где

Дифференциал объёма в сферических координатах выражается как

Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:

1. Какой угол образует с осью  касательная прямая к кривой ,  в точке ?

2. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

3. Найти ,  для .

4. Для функции  убедиться в равенстве ее смешанных производных второго порядка  и  в области их
существования.

5. Для функции  найти  и . Убедиться, что значения этих производных не зависят от порядка дифференцирования.

Ответы. 1. ; кривая – пересечение верхней части двуполостного гиперболоида и плоскости .

2. .

3. .

4. ; достаточное
условие равенства смешанных производных ФНП – их непрерывность по совокупности переменных – выполнено.

5. ; замечаем, что последовательное вычисление производной  несколько проще.

Цилиндрические координаты

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах


Вычисление интеграла