Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

  Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного  интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в  котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После  подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.

Правило расстановки пределов.

В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.

Если область не является правильной ни относительно оси Ох, ни относительно оси Оу, её разбивают на конечное число областей , правильных относительно одной из осей и при вычислении применяют свойство 2.

Пример 1. 

Вычислить двойной интеграл 

двумя способами, если граница области D задана уравнениями:

Решение 1, а

Построив кривые, получим область D (рисунок 4). Область правильная.  Применим формулу (8). При этом уравнение верхней границы области х=у2 преобразуем к виду :

Рисунок 4.- область интегрирования к примеру 1,а

Рисунок 5.- область интегрирования к примеру 1,b

Изменим порядок интегрирования и применим формулу (9):

Решение 1, b 

Область D построена на рисунке 5. Область D правильная. Выбираем для интегрирования формулу (9):

Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями . В этом случае область D нужно разбить на две области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу. На основании свойства 2 двойного интеграла получаем:

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Для функции  в точке  выделить
линейную относительно , ,  часть приращения функции
при произвольных , , .

2. Линеаризовать функцию  в окрестности
точки .

3. Вычислить приближенно число , пользуясь соотношением  для функции  в точке  при ; .

Ответы. 1.

2. .  3. .

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.


Вычисление интеграла