Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Применение тройных интегралов.

Масса неоднородного тела

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область  (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

    

Единица измерения плотности - кг/м3. Вычисление производной порядок интегрирования Математика

                                Рис. 1.

Разобьем тело произволь­ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим   Выберем затем в каждой части по про­извольной точке  Полагая, что в, каждой час­тичной области плотность по­стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при­ближенное  выражение для массы всего тела в виде суммы 

     (*)

Предел этой суммы при ус­ловии, что  и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции  по пространственной области .

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где  - произвольная непрерывная в области функция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую­щей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формули­руется и теорема существования тройного интеграла .

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подын­тегральная функция  тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :

     

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция  во всех точках области интегри­рования  удовлетворяет неравенствам

то

где V - объем области .

ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция  непрерывна на промежутке ; 2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , имеет множество значений, принадлежащих промежутку , и   на . Тогда

,  (**)

где  – какая-либо первообразная для функции  на ;

   – обратная функция для функции .

В самом деле, условие  гарантирует существование
обратной функции   и ее производной . Дифференцируя по  на  сложную функцию ,  и учитывая
равенство , получим

.

Итак, функция  – первообразная для  на .

Теорема показывает, что если при вычислении интеграла  удается подобрать функцию ,  с указанными свойствами и интеграл  вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:

выбрать функцию  с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежуток  в промежуток определения функции ; найти обратную
функцию ;

найти , ;

заменить интеграл  интегралом ;

вычислить ;

вернуться к первоначальной переменной интегрирования ,
заменяя . Получить ответ в виде .

Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.


Вычисление интеграла