Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств Качественная мебель для персонала от производителя.

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской криволинейной трапеции.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

Найдем координаты точек пересечения данных линий:

Для этого решаем систему уравнений , ее решением являются точки A(2;3), B(5;0).

Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB. Найти решение задачи Коши

Для вычисления площадей воспользуемся формулой:

, где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х. В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB . Вычислим площадь этой фигуры:

Для фигуры FAB , следовательно, имеем:

.

Площадь искомой фигуры будет равна: .

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Построим данную кривую.

Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений   из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием  от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью.

Вычислим площадь данной фигуры по формуле:, где и  пределы, в которых лежит данная фигура. В нашем случае .

Подставляя все эти величины в формулу, получаем:

.

ТЕОРЕМА 2. Всякая правильная несократимая рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы
конечного множества простейших дробей типа 1 – 4.

Разложение правильной дроби  на простейшие
дроби тесно связано с разложением знаменателя дроби  на простые действительные множители. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается (единственным образом) на множители вида  и , причем квадратичные множители не имеют действительных корней и поэтому не разложимы на линейные множители. Например, , здесь трехчлен  нельзя представить в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя одинаковые множители, запишем знаменатель в виде ,

причем, очевидно, .

Каждому множителю вида  соответствует сумма "" простейших дробей вида 1 и 2 , а каждому множителю вида  – сумма "" простейших дробей

вида 3 и 4  .

Поэтому разложение на простейшие дроби рассматриваемой  здесь дробно-рациональной функции  будет иметь вид (считаем ):

.

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных
коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах.


Вычисление интеграла