Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла
Пример 9. Вычислить интеграл
.
Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
![]()
Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:
. Задача Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье функции . Записать это разложение.
На отрезке
по переменной t функция
непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка
по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:
.
Несобственный интеграл.
Пример 10. Вычислить несобственный интеграл
или доказать его расходимость.
Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами
.Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:
Пример 11. Вычислить несобственный интеграл
или установить его расходимость.
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела.
Замечание: когда
, то
.
Поэтому получаем, что
, а это значит, что данный интеграл расходится.
Пример 12. Вычислить интеграл от разрывной функции
или установить его расходимость.
Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.
. (1)
Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:
Таким образом, на отрезке
интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.
Напомним, что если
– дифференцируемая в точке
функция, то произведение
является дифференциалом функции
в точке
соответственно приращению аргумента
.
Для дифференцируемых функций
и
правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее
– произвольное число), а именно:
;
;
;
;
;
.
Для первообразной
функции
из соотношения
,
имеем
или
– подведение функции
под дифференциал.
Приложения определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой:
, между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .