Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла
Пример
9. Вычислить интеграл 
.
Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:
.
Задача Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье функции . Записать это разложение.
На отрезке 
по переменной t функция 
непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах
его принимает значения границ отрезка 
по переменной x. Следовательно, выбранная замена
переменной правомерна. Получаем:
.
Несобственный интеграл.
Пример 10. Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение.
Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами 
.Далее
считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:
Пример
11. Вычислить несобственный интеграл 
или установить его расходимость.
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела.
Замечание:
когда 
, то 
.
Поэтому получаем, что 
, а это значит, что данный интеграл расходится.
Пример
12. Вычислить интеграл от разрывной функции 
или установить его расходимость.
Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.
.
(1)
Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:
Таким
образом, на отрезке 
интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный
интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в
правой части.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.
Напомним, что
если 
– дифференцируемая в точке 
функция, то произведение
является
дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента 
.
Для дифференцируемых функций
и 
правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам
вычисления производных (здесь и везде далее 
– произвольное число), а именно:
;
;
;
;
;
.
Для
первообразной 
функции 
из соотношения 
, 
имеем 
или 
– подведение функции под дифференциал.
Приложения
определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вычисление длины дуги кривой.
Пример. Вычислить длину дуги кривой: 
, между точками пересечения с осями координат.
Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от
параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать
некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .