Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Матричные уравнения

 Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

,  (1.25)

, (1.26)

где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы   и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

 Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

, ()

,  ()

,  ()

 ◄ Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) ( в первом случае и  во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

 Пусть ,, тогда по необходимости матрицы  и  имеют размер . Так как ,, то для любой матрицы  из  существует матрица  вида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем

,

т.е. матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.

 Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть  некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство

.

Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что

или

.

т.е.  имеет вид (). ►

 Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

 Предложение 1.9. Пусть  и . Тогда уравнения

,  (1.27)

 (1.28)

равносильны для любых матриц  из .

 ◄ Действительно, если  – решение уравнения (1.27), тогда . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем, что.

  или ,

т.е.  является решением уравнения (1.28). Наоборот, если   – решение уравнения (1.28), тогда

.

Но матрица  обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что

,

т.е.  – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►

Упражнения

  1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

  2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

  3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

а)  б) .

Каковы размеры матрицы , если известно, что ?

 5. Даны матрицы  и . Найти матрицы .

 а) ; б) ;

в) .

 6. Найти произведение матриц , если:

 а) ; б);

 в) ; г)

 д) ; е) ;

 

 ж) ;

 з) ;

 

 и) ; к) ;

л) ; м) .

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак "" стоит перед знаком "".

  Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак "" стоит рядом и перед знаком "", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции  прибавляется произвольное число .

Основные типы алгебраических структур

Пример. Множество  является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пример Построить матрицу  приведённого вида,

Разложение матрицы в произведение простейших

1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц. Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.


Вычисление интеграла