Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Теория делимости квадратных матриц

Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Любое отличное от 0 действительное число  имеет обратное число , т.е.

,  (1.11)

и поэтому любое действительное число  можно разделить на любое ненулевое число ,

Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11). Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Матрица  называется обратимой, если существует такая матрица , что

. (1.12)

Если матрица  обратима матрица  называется её обратной матрицей и обозначается . Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок . В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству , а единичную матрицу  будем обозначать для простоты . Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка  в дальнейшем будем обозначать через .

 Свойства обратимых матриц.

  1) Если , её обратная матрица  единственна.

 ◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства

.  (1.13)

где . Умножая обе части равенства  на матрицу  слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что

.

С другой стороны,

, т.е. . ►

 2) Если , тогда , и .

 ◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►

 3) Если , тогда , и

.  (1.14)

 ◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что

или

.

Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид , т.е. выполнено равенство (1.14). ►

 4) Если  и , тогда матрица  обратима и

.  (1.15)

 ◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что

,

.

Откуда следует обратимость матрицы  и равенство (1.15). ►

 5) Если , тогда  и

  (1.16)

 ◄ Докажем, например, обратимость матрицы ,

Откуда следует обратимость матрицы  и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы   и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►

 6) Если , то во множестве  всегда существует необратимые матрицы.

 ◄ Примером такой матрицы является матрица

.

Действительно, равенство  не может выполняться ни для какой матрицы  из , так как в произведении  последняя строка всегда нулевая и поэтому

.►

  Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .

 Предложение 1.1. Если матрица  является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

 ◄ Пусть матрица  и существует такая матрица , , что  или . Тогда матрица  не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства  на матрицу  справа (или обе части равенства  на матрицу  слева), получаем, что

 

и аналогично в случае . ►

 Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица  отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.


Вычисление интеграла