Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

 ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

 ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,  и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

.  ►

В то же время существуют матрицы  и  для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

 

перестановочны, т.к.

.

 Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве  является матрица

,

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.

. (1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

 Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13. 

4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.

 

 ◄ Пусть . Тогда

.  ►

5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

, где .

 ◄ Например,

.

Равенство  доказывается аналогично. ►

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

  (1.10)

 ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

 

 

 . ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

.

Матрица  называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица  является её левой единицей, а матрица  – правой единицей, т.е.

.

Если матрица  квадратная и имеет порядок , тогда матрица  является её двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.

.

8) Напомним, что для всех действительных чисел  , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение  действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел  или  равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители  существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы  порядка  и  порядка , что .

 ◄ В самом деле, матрицы

  и ,

соответственно порядков  и , очевидно удовлетворяют нужному условию. В частности, если , то. ►

Поверхностный интеграл II рода.

Гладкая поверхность  называется двусторонней, если нормаль к этой поверхности в любой ее точке при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к поверхности, называется ориентацией поверхности.

Пусть   - гладкая ориентированная поверхность и в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция . Разобьем поверхность S на n частей произвольно и каждую часть проецируем на плоскость, например, OXY. Обозначим площадь каждой проекции . На каждой из частей поверхности произвольно берем точку  и составим сумму: 

Поверхностным интегралом II рода называется предел интегральной суммы   при условиях:

1)  и  (стягиваясь в точку),

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точек  на каждой из частей поверхности, т.е.:


Вычисление интеграла