Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Векторы

Задания для подготовки к практическому занятию

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)

1. Найти координаты векторов  .

Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):

;  ; 

2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.

Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны: . Для этого должны быть равны координаты этих векторов: ,

следовательно, , откуда .

Таким образом, искомая точка D(0;4)

Даны векторы: .

3. Найти скалярное произведение векторов  и ,

Решение: Найдем координаты указанных векторов:

,

.

Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:

4. Найти векторное произведение векторов  и ,

Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:

.

Таким образом,

5. Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами, отложенными из одной точки.

 Решение: Стороны треугольника как длины образующих его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно координаты вектора , образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания векторов, . Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:

,  ,

.

Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.

Угол А треугольника образован векторами , следовательно,

.

Угол В образован векторами , следовательно,

.

Угол С образован векторами , следовательно,

  (этот угол тупой).

Интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Двойной интеграл.

1. Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного интеграла.

  Пусть на замкнутой области DR² задана непрерывная функция z = f (x;y), f (x;y) ≥ 0 для . В системе координат 0XYZ функция z = f (x;y) задает некоторую поверхность. Из каждой граничной точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0XY до пересечения с поверхностью z = f (x;y). При этом в пространстве R³ получаем объемное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть поверхности z = f (x;y) и боковая поверхность параллельна оси 0Z. Такое тело будем называть цилиндроидом.

Ставим задачу: вычислить объем этого цилиндроида (рис. 1).

С этой целью проведем следующие операции:

а) область D разделим на n частей (произвольно) –   ;

 б) обозначим площади каждой

 из этих частей ;

 в) на каждой из частей разбиения

 рис. 1 области D выберем точкуи строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основаниями и высоты

Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов .