Векторы
Задания для подготовки к практическому занятию
Примеры.
Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)
1. Найти координаты векторов
.
Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):
;
;
2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.
Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны:
. Для этого должны быть равны координаты этих векторов:
,
следовательно,
, откуда
.
Таким образом, искомая точка D(0;4)
Даны векторы:
.
3. Найти скалярное произведение векторов
и
,
Решение: Найдем координаты указанных векторов:
,
.
Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:
4. Найти векторное произведение векторов
и
,
Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:
.
Таким образом,
5. Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами, отложенными из одной точки.
Решение: Стороны треугольника как длины образующих его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно координаты вектора
, образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания векторов,
. Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:
,
,
.
Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.
Угол А треугольника образован векторами
, следовательно,
.
Угол В образован векторами
, следовательно,
.
Угол С образован векторами
, следовательно,
(этот угол тупой).
Интегральное исчисление функции нескольких переменных.
Двойной интеграл.
1. Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного интеграла.
Пусть на замкнутой области D
R² задана непрерывная функция z = f (x;y), f (x;y) ≥ 0 для
. В системе координат 0XYZ функция z = f (x;y) задает некоторую поверхность. Из каждой граничной точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0XY до пересечения с поверхностью z = f (x;y). При этом в пространстве R³ получаем объемное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть поверхности z = f (x;y) и боковая поверхность параллельна оси 0Z. Такое тело будем называть цилиндроидом.
Ставим задачу: вычислить объем этого цилиндроида (рис. 1).
С этой целью проведем следующие операции:
а) область D разделим на n частей (произвольно) –
;
б) обозначим площади каждой
из этих частей
;
в) на каждой из частей разбиения
рис. 1 области D выберем точку
и строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основаниями
и высоты
Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов
.