Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

= 1+ t2+ + o(t4), ln2(1+t) = (t  + o(t2))( t  + o(t2)) = t2  t3 + o(t3).

Отсюда g(t) =  ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2) является o(t3) и т. д.

Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.

  Рис. 35

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

(плоский случай)

Определение. Криволинейный интеграл II рода называется независящим от пути интегрирования, если результат интегрирования будет один и тот же по любому пути, соединяющему точки A и B, на котором функции P (x;y) и Q (x;y) непрерывны. Обозначение такого интеграла:

.

Теорема 1. Криволинейный интеграл  не зависит от пути интегрирования в области D тогда и только тогда, когда:

по любому замкнутому контуру C, целиком лежащему в области D.

Доказательство: 1) Необходимость.

Пусть A и . Рассмотрим две произвольные кривые  и , соединяющие точки A и B.

 

 

Отсюда следует:

Так как кривые  и  взяты произвольно, то и контур C=AmBnA – произвольный.

Необходимость доказана.


Решение примерного варианта контрольной работы