Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл Finans документы для залога квартиры www.zalogplus.ru.

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Вычислить работу силы  при перемещении единичной массы вдоль кривой  линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

РЕШЕНИЕ.

Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

.

Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую  надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая  задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра  с плоскостью , см. рис.81).

Параметризацию кривой удобно провести следующим образом: зададим ; тогда из уравнения цилиндра найдем, что  и из уравнения плоскости, что . Итак,

.

Найдем значения параметра , соответствующие точкам  и 

,  откуда 

, откуда .

Рис.81

Для работы получим

=

=

=

Ответ. Работа равна .

Определение 4. Криволинейным интегралом II рода от векторной функции   по дуге AB кривой  называется предел последовательности интегральных сумм  при условиях:

1)   и  ;

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора на каждой из этих частей точек . Этот криволинейный интеграл II рода обозначается:

 

то есть:

Теорема 1 (существование криволинейного интеграла II рода).

Если вектор-функция  непрерывна на дуге AB гладкой кривой l , то криволинейный интеграл II рода существует.

Замечание 1. Если вектор-функция  задана на дуге AB гладкой кривой , то криволинейный интеграл II рода записывается следующим образом:


Решение примерного варианта контрольной работы