Вычислить массу дуги кривой (
) при заданной плотности
:
1)
![]()
2) (
,
;
.
3) (
,
;
.
РЕШЕНИЕ.
1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (
). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:
. Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле: Система линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.
.
Найдем
,
, так как для
функция
. Вычислим массу
с помощью определенного интеграла:
=
Ответ.
=256.
2) Кривая (
) задана явным выражением. В случае явного задания кривой криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом
:
.
Найдем
.
Для массы
получим:
.
Ответ.
.
3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной в полярной системе координат, в этом случае масса
может быть определена по формуле
.
Вычислим
,
Для определения массы кривой получим определенный интеграл
.
Ответ.
=
.
Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Пусть в пространстве
задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге AB задано векторное поле
Точками
дуга AB разбита на n произвольных дуг
на каждой из которых произвольно взяты точки
. Концы дуг соединены отрезками прямых, на которых выбрано направление, т.е. образованы векторы:
каждый из которых имеет координаты:
![]()
Составим сумму скалярных произведений векторов
Определение 3. Сумма
называется интегральной суммой для векторной функции
по дуге AB кривой
.