Вычислить
массу дуги кривой (
) при заданной плотности 
:
1) 
2) (
, 
; 
.
3) (
, 
; 
.
РЕШЕНИЕ.
1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить
с помощью криволинейного интеграла первого рода: 
. Для вычисления его нужно свести к определенному
интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле: Система линейных
алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре.
Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались
бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач
системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования,
так и при рассмотрении частных проблем.
.
Найдем
,
,
так как для 
функция 
.
Вычислим массу 
с помощью определенного интеграла:
=
Ответ. =256.
2) Кривая (
) задана явным выражением. В случае явного задания кривой
криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом
:
.
Найдем
.
Для массы получим:
.
Ответ.
.
3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной
в полярной системе координат, в этом случае масса может быть определена по формуле
.
Вычислим
,
Для определения массы кривой получим определенный интеграл
.
Ответ.
=
.
Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Пусть
в пространстве 
задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге AB задано
векторное поле 
Точками
дуга AB разбита на n произвольных дуг 
на каждой из которых произвольно
взяты точки 
. Концы дуг соединены
отрезками прямых, на которых выбрано направление, т.е. образованы векторы: 
каждый из которых имеет координаты: 
Составим сумму скалярных произведений векторов
Определение
3. Сумма 
называется интегральной суммой для векторной функции
по дуге AB кривой 
.