Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

1)  

2) (.

3) (.

РЕШЕНИЕ.

1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле: Система линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

.

Найдем  ,

, так как для  функция .  Вычислим массу  с помощью определенного интеграла:

=

Ответ. =256.

2) Кривая () задана явным выражением. В случае явного задания кривой криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом  :

.

Найдем  .

Для массы  получим:

.

Ответ. .

3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной в полярной системе координат, в этом случае масса  может быть определена по формуле

.

Вычислим

Для определения массы кривой получим определенный интеграл

.

Ответ. =.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Пусть в пространстве  задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге AB задано векторное поле

Точками  дуга AB разбита на n произвольных дуг  на каждой из которых произвольно взяты точки . Концы дуг соединены отрезками прямых, на которых выбрано направление, т.е. образованы векторы:   каждый из которых имеет координаты:  

Составим сумму скалярных произведений векторов

Определение 3. Сумма  называется интегральной суммой для векторной функции  по дуге AB кривой .


Решение примерного варианта контрольной работы