Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где  - отрезок прямой, , .

б) , где  - ломаная, , , .

в) , где  - дуга окружности , .

г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке  , значит , . Поэтому .

На отрезке  , , . Поэтому

.

Искомый интеграл  равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию  параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.

Теорема (о среднем значении тройного интеграла)

Если функция  непрерывна в замкнутой области DR3, то внутри области D найдется хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

где – объем тела D.

4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Для вычисления тройного интеграла от функции  по области DR3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию  Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть  и – уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис.1). Тогда можно записать:

Если область G окажется правильной

в направлении, например, оси 0Y, т.е.

  , то

 Рис.1


Решение примерного варианта контрольной работы