Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки .

Решение. Воспользуемся известным разложением:

.

Задание 10. Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. Вывод уравнения колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l.

a) ;

б) ;

в) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит  устранимая точка и, следовательно .

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит  - существенно особая точка. Тогда , т.к. коэффициент при  равен нулю.

  Основные свойства тройного интеграла.

1) Пусть  непрерывна в объемной области D и , то

2) Если k постоянная величина, то

3) Если  и   непрерывны в области DR3, то

4) Если для любых  DR3 выполняется неравенство: , то

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.


Решение примерного варианта контрольной работы