Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что . Курс лекций по математике Базис и разложение векторов Решение дифференциальных уравнений

В силу условий Коши-Римана имеем:

 (1)

  (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Некоторые приложения двойного интеграла.

1) Площадь плоской области D:

2) Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0Z:

.

3) Площадь поверхности z = f (x;y) :

,

где D – проекция данной поверхности на 0XY.

4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей плотность :

.

При этом статистические моменты пластинки, относительно осей 0X и 0Y:

; .

5) Координаты центра тяжести пластинки:

 ; .

В случае однородной пластинки  координаты центра тяжести однородной пластинки:

  , .


Решение примерного варианта контрольной работы