Решение примерного варианта контрольной Производная и дифференциал Неопределенный интеграл Вычисление определенного интеграла Двойной интеграл Интегрирование по частям Тройной интеграл Криволинейный интеграл

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Интегрирование рациональных функций

Задания для подготовки к практическому занятию

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, следует числитель разделить на знаменатель, выделив целую часть.

Пример . Вычислить .

Так как дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Таким образом, дробь представляется в виде . Следовательно,

.

Делением в столбик можно пользоваться при любой степени знаменателя. Справедливости ради стоит отметить, что если знаменатель первой степени, как в приведенном примере, может оказаться проще сделать замену (в данном случае t=x+2), так что числитель будет делить на знаменатель почленно.

Если под интегралом находится правильная дробь (степень числителя меньше степени знаменателя), то знаменатель раскладывают на множители (это возможно для всякого многочлена степени выше 2 и для половины многочленов степени 2) и пользуются теоремами об отделении, представляя дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

Пример. Для дроби  выписать разложение в сумму элементарных дробей с неопределенными коэффициентами:

Степень числителя 4, степень знаменателя 5, дробь правильная. Воспользуемся последовательно первой теоремой об отделении:

,

где  A,B,C,D,E – некоторые числа (обратите внимание: Р0(х) – многочлен нулевой степени – это число).

Некоторые приложения двойного интеграла.

1) Площадь плоской области D:

2) Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0Z:

.

3) Площадь поверхности z = f (x;y) :

,

где D – проекция данной поверхности на 0XY.

4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей плотность :

.

При этом статистические моменты пластинки, относительно осей 0X и 0Y:

; .

5) Координаты центра тяжести пластинки:

 ; .

В случае однородной пластинки  координаты центра тяжести однородной пластинки:

  , .


Решение примерного варианта контрольной работы