ПРИМЕР. Покажем, что множество  – счетное.

Рассмотрим множество положительных рациональных чисел . Элементы множества  можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы
с двумя выходами вниз и вправо. В первой строке запишем все обыкновенные дроби вида , где ; во второй строке – дроби вида , где  и т.д. Взаимно однозначное соответствие множеств  и  установим, если снова "перенумеруем" все элементы множества  по конечным диагоналям таблицы, двигаясь слева направо и сверху вниз.

Множество отрицательных рациональных чисел  эквивалентно множеству  (по симметрии). Поэтому  счетное как объединение двух счетных и конечного множеств.

Множеству всех счетных множеств сопоставляется символ  (читается "алеф – ноль") – мощность.

Не всякое бесконечное множество является счетным.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Множество  не является счетным.

В самом деле, пусть ~, тогда существует отображение , устанавливающее взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств, в частности:

…………

………… .

Здесь  – цифры в десятичных записях соответствующих
чисел из , причем все числа из интервала   записаны.

Построим действительное число  так, что цифра , где , , . Тогда число  
по построению, но   ни при каком , т.е. .

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Среди несчетных множеств выделяем те из них, которые эквивалентны (равномощны) множеству всех чисел промежутка .

Всем несчетным множествам, эквивалентным множеству , сопоставляется символ  или  – мощность "континуум".

ПРИМЕРЫ множеств мощности .

~; взаимно-однозначное соответствие устанавливает функция , .

~; здесь число  – произвольное, в частности, сколь угодно малое, положительное число; взаимно однозначное соответствие устанавливает функция , .

Поскольку множество всех действительных чисел ,
  – несчетное множество мощности ,  – счетное множество, то  есть несчетное множество мощности  и ~.

Некоторые свойства множеств мощности

Всякое бесконечное подмножество множества мощности  либо счетное, либо имеет мощность , т.е. не существует бесконечных множеств мощности, промежуточной между  и  (это утверждение имеет название "континуум – гипотезы", принимается как аксиома).

Объединение конечного или счетного множества множеств
мощности  имеет мощность .

Множество всех подмножеств счетного множества имеет
мощность . В частности, множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность .

В самом деле, если взять произвольную последовательность  и сопоставить с ней число , записанное в виде дроби указанным образом, то, используя результаты теории непрерывных дробей,
получим эквивалентность множеств  и всех чисел .

Если всякий элемент множества имеет конечное или счетное множество индексов, каждый из которых принимает значения из множества мощности , то исходное множество имеет
мощность .

Например, множество  точек плоскости  состоит из элементов , причем  и , поэтому множество всех точек плоскости  имеет мощность .

Аналогично множество точек пространства  (а также ) имеет мощность .

Множество всех непрерывных на  функций имеет мощ-
ность .

Множество всех действительно-значных функций, заданных на , имеет мощность , "большую" мощности .

Можно говорить о ШКАЛЕ МОЩНОСТЕЙ , , , … , т.е.
о возрастающей последовательности мощностей бесконечных множеств. Предполагается, что каждое последующее значение мощности есть мощность множества всех подмножеств множества предыдущей мощности (это предположение имеет название "обобщенной континуум – гипотезы").