[an error occurred while processing this directive]ПРИМЕР. Покажем, что множество
– счетное.
Рассмотрим множество положительных рациональных чисел
. Элементы множества
можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы
с двумя выходами вниз и вправо. В первой строке запишем все обыкновенные дроби вида, где
; во второй строке – дроби вида
, где
и т.д. Взаимно однозначное соответствие множеств
и
установим, если снова "перенумеруем" все элементы множества
по конечным диагоналям таблицы, двигаясь слева направо и сверху вниз.
Множество отрицательных рациональных чисел
эквивалентно множеству
(по симметрии). Поэтому
счетное как объединение двух счетных и конечного множеств.
Множеству всех счетных множеств сопоставляется символ
(читается "алеф – ноль") – мощность.
Не всякое бесконечное множество является счетным.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Множество
В самом деле, пустьне является счетным.
~
, тогда существует отображение
, устанавливающее взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств, в частности:
…………
………… .
Здесь
– цифры в десятичных записях соответствующих
чисел из, причем все числа из интервала
записаны.
Построим действительное число
так, что цифра
, где
,
,
. Тогда число
![]()
по построению, нони при каком
, т.е.
.
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Среди несчетных множеств выделяем те из них, которые эквивалентны (равномощны) множеству всех чисел промежутка
.
Всем несчетным множествам, эквивалентным множеству
, сопоставляется символ
или
– мощность "континуум".
ПРИМЕРЫ множеств мощности
.
~
; взаимно-однозначное соответствие устанавливает функция
,
.
~
; здесь число
– произвольное, в частности, сколь угодно малое, положительное число; взаимно однозначное соответствие устанавливает функция
,
.
Поскольку множество всех действительных чисел
,
– несчетное множество мощности
,
– счетное множество, то
есть несчетное множество мощности
и
~
.
Некоторые свойства множеств мощности
Всякое бесконечное подмножество множества мощности
либо счетное, либо имеет мощность
, т.е. не существует бесконечных множеств мощности, промежуточной между
и
(это утверждение имеет название "континуум – гипотезы", принимается как аксиома).
Объединение конечного или счетного множества множеств
мощностиимеет мощность
.
Множество всех подмножеств счетного множества имеет
мощность. В частности, множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность
.
В самом деле, если взять произвольную последовательность
и сопоставить с ней число
, записанное в виде дроби указанным образом, то, используя результаты теории непрерывных дробей,
получим эквивалентность множестви всех чисел
.
Если всякий элемент множества имеет конечное или счетное множество индексов, каждый из которых принимает значения из множества мощности
, то исходное множество имеет
мощность.
Например, множество
точек плоскости
состоит из элементов
, причем
и
, поэтому множество всех точек плоскости
имеет мощность
.
Аналогично множество точек пространства
(а также
) имеет мощность
.
Множество всех непрерывных на
функций имеет мощ-
ность.
Множество всех действительно-значных функций, заданных на
, имеет мощность
, "большую" мощности
.
Можно говорить о ШКАЛЕ МОЩНОСТЕЙ
,
,
, … , т.е.
о возрастающей последовательности мощностей бесконечных множеств. Предполагается, что каждое последующее значение мощности есть мощность множества всех подмножеств множества предыдущей мощности (это предположение имеет название "обобщенной континуум – гипотезы").