Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Диффенцирование неявно заданной функции

Если 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) ,  – непрерывные функции в ; 3), ,

то уравнение  определяет на некотором интервале однозначную непрерывную неявно заданную функцию  такую, что   на ; ;

в   существует производная этой функции

.

Аналогичные утверждения имеют место и для ФНП. Например, уравнение   задает неявно функцию  в
некоторой окрестности точки , если: 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) все частные производные функции   – непрерывные функции в ; 3) , .

При этом снова, не зная явного выражения для функции , можно вычислить ее частные производные, например,
по формулам .

Приближенное представление для неявно заданной функции в  можно получить, применяя формулу Тейлора.

ПРИМЕР 1. Проверить, что уравнение  в окрестности точки  задает неявно функцию . Найти приближенно явное представление этой функции, используя формулу
Тейлора при .

Решение. Условия существования неявно заданной функции выполнены: 1) функция   непрерывна на плоскости ; 2) ее частные производные  и   также всюду непрерывны; 3) , . Поэтому рассматриваемое уравнение в окрестности точки  задает функцию  неявно, причем ; и существует производная ее

.

Заметим, что вовсе необязательно находить  по формуле, иногда удобнее дифференцировать тождество  и из получающегося уравнения относительно  найти значение этой производной. Например, в нашем случае для тождества  имеем

,

отсюда находим ; естественно, что результат совпадает с ранее полученным.

Для нахождения приближенного явного выражения

надо вычислить ,  и . Снова дифференцируем по  тождество, связывающее ,  и , получаем

.

Подставляя в это тождество (по ) значения , , , вычисляем .

Итак, в некоторой окрестности  

.

Погрешность приближения определяется качественно отбрасываемым остаточным членом формулы Тейлора .

ПРИМЕР 2. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Решение. Можно применить формулы для  и , но в данном случае проще продифференцировать тождество, соответствующее уравнению, сначала по  (), а затем по ().
Получим 1) , откуда  и ; аналогично

2)   и отсюда .

Для нахождения производной  дифференцируем еще раз по  первое тождество (), получаем

  или , отсюда  и .

Аналогично вычисляются другие частные производные второго и большего порядка.

Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП  в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)


Криволинейный и поверхностный интеграл