Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Исследовать поведение функции Функции комплексной переменной Векторное поле Решение типовых задач Элементы теории множеств

Задачи курсового, типового расчета по математике. Примеры решений

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN. С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

1-го порядка равны нулю:

Решаем систему:

 Стационарная точка М(2, 0) (рис. 9) и является внутренней точкой области. Вычислим значение функции в этой точке:

.

  Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.

а) Уравнение участка АВ имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной у:

.

Исследуем поведение z1 (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно, непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо на концах промежутка, либо в стационарных точках внутри промежутка (если они есть).

Исследуем поведение функции z1(y) на участке АВ:  – стационарная точка на границе АВ, совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z1(A) = z1(–1) = 4, z1(B) = z1(3) = 20, получаем: .

б) Уравнение участка АС имеет вид:  и функция z  является

функцией одной переменной x:

.

Исследуем поведение функции z2(х) на участке АС:  – стационарная точка на границе АС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z2(A) = z1(А) = 4, z2(С) = z2(4) = 8 и z2(х0) = z2(1,5) =1,75, получаем: .

в) Уравнение участка ВС имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной х:

Исследуем поведение функции z3(х) на участке ВС:  – стационарная точка на границе ВС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции

z3(В) = z1(В) = 20, z3(С) = z2(С) = 8 и z3(х1) = z3(2,5) =1,25,

получаем: .

 Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:

zнаиб = z(В) = 20, zнаим = z(М) = 1.

2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,3) и М(2,0), а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции z(x, y) в этих точках.

Ответы: 1) zнаиб = z(В) = z(0,3) = 20, zнаим = z(М) = z(2,0) = 1; 2) рисунок 9.

Теорема (формула Ньютона – Лейбница)

Если функция  непрерывна на , то справедлива
формула

,

где  – любая первообразная для .

Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла известно, что две произвольные первообразные для одной и той же функции различаются на постоянную, т.е. первообразные  и  
функции   связаны соотношением , поэтому

,

,  – постоянная.

Тогда при  имеем , т.е. ;
при   имеем  или  – приращение первообразной  на  – обычно обозначают

,

здесь  – какая-либо первообразная подынтегральной функции.


Криволинейный и поверхностный интеграл