На главнуюНесобственные интегралы
Определенный интеграл
называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
- Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
- Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b]. Градиентный метод
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл
также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что
для всех x в интервале [a, ∞).
- Если
сходится, то
также сходится;
- Если
расходится, то
также расходится;
- Если
сходится, то
также сходится. В этом случае говорят, что интеграл
является абсолютно сходящимся.
Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки
. Тогда справедливо соотношение
и говорят, что несобственный интеграл
сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.
Метод подстановки (замена переменной интегрирования)
Пример
(положим
тогда
![]()
![]()
Пример
(положим
тогда
) =
=
(используем формулу
) =
=
![]()
=
Возвращаясь к старой переменной, использовали выражение:
![]()
Замечание. В примерах 12 и 13 использовали подстановку вида:
и формулу (6.1). Подстановку
выбирают так, чтобы правая часть формулы (6.1) приобрела более удобный для интегрирования вид.