Контрольная работа по математике Задачи типового расчета

Контрольная работа на вычисление интеграла. Примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).

Решение. В соответствии с формулой Грина находим Следовательно, Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл Среди графических рассмотрим метод Эйлера. Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х).

Пример Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).

Решение. В соответствии с формулой Грина запишем Следовательно, Найдем уравнения сторон квадрата: Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных. Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно Тогда и интеграл имеет значение
Рис.5 Рис.6

Метод интегрирования по частям

Пример

=

=

На главную