Контрольная работа по математике Задачи типового расчета

Контрольная работа на вычисление интеграла. Примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).

Решение. Применим формулу Грина Очевидно, здесь Следовательно, Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3). Метод интегрируемых комбинаций – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда и из первого уравнения , т.е. – общее решение СДУ.

Решение. В заданном криволинейном интеграле , так что Тогда по формуле Грина получаем Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
Рис.3Рис.4

Пример

=

= =

=

Замечание. При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где – многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' ''

В интегралах вида

за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

На главную