Контрольная работа по математике Задачи типового расчета

Контрольная работа на вычисление интеграла. Примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Решение. Сначала запишем компоненты векторного поля и определим частные производные: Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен

Пример Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки. Пространство переменных СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

Решение. Запишем компоненты векторного поля и их производные: Тогда где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
Рис.1 Рис.2

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример . Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда или .

Пусть х=-1, тогда или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай . Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

На главную