На главнуюЗамена переменной в определенном интеграле
Пример Вычислить площадь эллипса
.
Решение. В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна
Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и
. Если x = a, то sin t = 1,
. Таким образом, мы получаем
Следовательно, полная площадь эллипса равна πab.
Найти предел
;
;
;
;
;
;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).