Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой
В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула
![]()
Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2).
Решение.
![]() |
Рис.1 |
На главнуюКонус ограничен поверхностью
и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой
Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах
Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ):
Находим объем конуса
![]()
Интеграл вида
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка
t = tgx.
Тогда