Контрольная работа на вычисление интеграла. Примеры решения задач

Квантовая физика Математика Курсовые и лабораторные по сопромату Стили в искусстве

Электроника
Лабораторные работы
Математика
Контрольная работа на вычисление
интеграла
Задачи типового расчета
Квантовая физика
Постулаты Бора
Квантовый гармонический осциллятор
Щелочные металлы. Уровни энергии
Характеристические рентгеновские спектры
Фотонный газ
Электронный газ и его некоторые свойства
Электроны в кристаллах
Примесная проводимость полупроводников

Сверхпроводимость

Ядерные силы

Деление ядер

Элементарные частицы

Кварки

Поляризация диэлектриков

Применение закона Ампера

Соединение конденсаторов

Кинематика

Криволинейное движение тела
под действием силы тяжести

Квантовая гипотеза Планка

Волновая функция и измерения

Интегралы движения

Туннельный эффект

Расщепление спектральных линий
в магнитном поле

Сферические волны

Теория столкновений
История искусства
Скульптура
Барокко
Вазопись и живопись
Византия
Искусство Древней Японии
Монументальная живопись
Тициан. Представитель венецианской школы
Искусство итальянского барокко
Русская глиняная игрушка
Виды декоративно – прикладного искусства
Модерн
Фовизм
Абстрактное искусство
Постсупрематизм
Сюрреализм
Аналитическое искусство
ВХУТЕИН: (Высший художественно
-технический институт)
Кинетическое искусство
Поп-арт
Акционизм в искусстве
Видео-арт
Московский концептуализм
Социалистический реализм
Советская пейзажная живопись
Тенденции современного дизайна

 

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:

Вычислить объем эллипсоида

Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью .

Замена переменных в двойных интегралах Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .

Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

 

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю

Площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Замена переменной в определенном интеграле

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Вычислить площадь эллипса .

Определение двойного интеграла Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).

Свойства двойного интеграла

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана

Оценить максимальное значение тройного интеграла

Производная сложной функции "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Определить производную функции .

Продифференцировать .

Вычислить интеграл .

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Двойные интегралы в произвольной области Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми . Интегрирование по частям Тройные и двойные интегралы при решении задач

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).

Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник

Пример Вычислить двойной интеграл , заданный в области .

Вычислить интеграл , заданный в области .

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах.

Найти длину кривой при условии .

Вычислить длину астроиды .

Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале

Вычислить длину параболы в интервале .

Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением

Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Вычислить объем эллипсоида .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность

Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Несобственные интегралы

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить интеграл .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить периметр единичной окружности.

 

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Вычислить .

Вычислить .

Интегральный признак Коши

Определить, сходится или расходится ряд .

Определить, сходится или расходится ряд .

Интегрирование по частям Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

Интегрирование гиперболических функций

Вычислить .

Найти интеграл .

Вычислить интеграл .

[an error occurred while processing this directive]